Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

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:Daher auch gilt für unendlich kleine Gebiete“ aller drei Geometrien <math display="inline">\sum = 180^\circ</math> und das euklidische Parallelenpostulat, weil das Flächenelement stets als krümmungslos angesehen werden darf. In „endlichen Gebieten" dagegen gilt die euklidische Geometrie nur in einer Fläche des Krümmungsmaßes 0, also in der Ebene und in den dehnungsfrei- abwickelbaren Flächen, bei denen <math>k = 0</math> ist (wie Zylinder- und Kegelmantel).
:Nun ist es selbstverständlich, daß die Krümmungsradien weder untereinander gleich sein müssen, noch auch, daß die Krümmung an jeder Stelle der gekrümmten Fläche dieselbe sein muß. Solche nicht konstant gekrümmte Flächen positiver oder negativer Krümmung haben auch jede ihre eigene nichteuklidische Geometrie, falls nicht einer der Krümmungsradien gleich unendlich ist. Nur werden in diesen Flächen die Figuren niemals ohne Dehnung bewegt werden können, da sie sich ja gleichsam ununterbrochen anderen Krümmungsverhältnissen anschmiegen müssen. Bildlich gesprochen, wären die Figuren in der Lage eines aufgeweichten Papierblattes, das auf Meereswogen treibt und jede Sekunde anderen Krümmungen folgen muß.
:Es gibt also eigentlich so viele verschiedene Geometrien, als es Arten von gekrümmten Flächen gibt. Und nur in einer verschwindend kleinen Anzahl dieser Geometrien gilt das euklidische Parallelenaxiom, während an sich alle anderen Geometrien gleichberechtigt und in sich geschlossen in unendlicher Mannigfaltigkeit neben unserer gewohnten euklidischen Geometrie bestehen. Daß wir sowenig von den nichteuklidischen Geometrien hören, liegt wohl daran, daß wir keinen Anlaß haben, uns - mit Ausnahme der Kugelgeometrie - in ''unserer'' Welt mit nichteuklidischen Geometrieformen zu beschäftigen. Die gekrümmten Flächen, also R<sub>2</sub> mit Krümmung, können wir uns stets als in einen euklidischen Raum „eingebettet“ denken und auf orthogonale cartesische Koordinaten beziehen, so daß wir hiebei keinen direkten Anlaß haben, eine „innere“, nichteuklidische Geometrie der betreffenden krummen Fläche zu treiben. Ganz andere Verhältnisse würden natürlich vorliegen, wenn wir uns in einem beliebigen R<sub>n</sub>, in dem wir eingebettet sind, bloß einbildeten, er sei euklidisch. Unsere geometrischen Arbeiten wären dann wirklich falsch. Wir werden solche Möglichkeiten sofort im Zusammenhang mit anderen Eigenschaften gekrümmter Räume besprechen.