Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»
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Línea 46:
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 424 picture cutout.jpg|thumb|
:Bevor wir aus diesen Erkenntnissen einige Folgerungen ziehen, werden wir noch eine Konstruktion der sogenannten Lobatschefskijschen Parallelen auf einer „pseudosphärischen Schultafel“ zeigen, die wir zuerst schematisch bringen. Einen Beweis geben wir nicht, da er für uns zu viele Voraussetzungen erfordern würde.
:Man hat, um zur g-Linie g' durch einen nicht auf g liegenden Punkt P die beiden Parallelen zu konstruieren, zuerst von P auf g das Lot zu fällen. <br style="clear:both;" />
Línea 54:
:Dies geschieht mittels eines pseudosphärischen Lineals, das, wie das Kugellineal sich der Kugel, so der pseudosphärischen Fläche anschmiegt. Der Fußpunkt dieses Lotes sei O. Nun trägt man von O auf g die beliebige Strecke s ab, deren Endpunkt Q ist. Hierauf zieht man von Q eine Senkrechte auf die g-Linie g<sub>1</sub>, welch letztere man dadurch gewinnt, daß man auf OP in P eine Senkrechte zieht. Wenn man nun mit s als Radius um P einen Kreis schlägt, schneidet er die g-Linie QT in zwei Punkten S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub>. Diese Schnittpunkte bestimmen mit P die beiden zu g durch den Punkt P parallelen (Lobatschefskijschen) g-Linien p<sub>1</sub> und p<sub>2</sub>.
:Es sind nun alle g-Linien durch P, die g<sub>1</sub> unter einem größeren Winkel als <math>\alpha</math> schneiden, Schneidende zur g-Linie g. Ist dagegen der Schnittwinkel kleiner als <math>\alpha</math>, dann treffen die g-Linien die g-Linie g nicht, ohne jedoch mit ihr parallel zu sein.
:Wir hätten noch nachzutragen, daß alle pseudosphärischen Dreiecke infolge ihrer Winkelsumme <math display="inline">\sum < 2R</math> einen pseudosphärischen Defekt <math>\delta = 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)</math> aufweisen, der wie der sphärische Exzeß auf einer und derselben Pseudosphäre mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zunimmt. Anschaulich kann man sich das Wachsen sowohl des Defektes als des Exzesses sehr gut so erklären, daß man sich sagt, ein relativ zur gekrümmten Fläche größeres Dreieck nehme, wenn es wachse, desto stärker an der Krümmung und an allen Folgen dieser Krümmung teil. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 426 picture cutout.jpg|thumb|300 px]]
:Daher auch gilt für unendlich kleine Gebiete“ aller drei Geometrien <math display="inline">\sum = 180^\circ</math> und das euklidische Parallelenpostulat, weil das Flächenelement stets als krümmungslos angesehen werden darf. In „endlichen Gebieten" dagegen gilt die euklidische Geometrie nur in einer Fläche des Krümmungsmaßes 0, also in der Ebene und in den dehnungsfrei- abwickelbaren Flächen, bei denen <math>k = 0</math> ist (wie Zylinder- und Kegelmantel).
:Nun ist es selbstverständlich, daß die Krümmungsradien weder untereinander gleich sein müssen, noch auch, daß die Krümmung an jeder Stelle der gekrümmten Fläche dieselbe sein muß. Solche nicht konstant gekrümmte Flächen positiver oder negativer Krümmung haben auch jede ihre eigene nichteuklidische Geometrie, falls nicht einer der Krümmungsradien gleich unendlich ist. Nur werden in diesen Flächen die Figuren niemals
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