Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 43:
:Als häufigste Form der „Pseudo-Sphäre wird die Traktrix-Fläche erwähnt, die in der nebenstehenden Figur als Form a dargestellt ist. Die von Leibniz, und Huygens im Jahre 1693 untersuchte Traktrix-, Zug- oder Schleppkurve entsteht dadurch, daß man etwa eine Uhr an einer Kette auf einen glatten Tisch legt, die Kette spannt und nun den „Zug“ in einer Geraden ausführt, die (auf dem Endpunkt der Kette) zur gespannten Kette senkrecht steht. Der Mittelpunkt unserer Uhr wird sich mit der Zeit dieser Geraden immer mehr nähern, ohne sie je zu erreichen. Die Traktrix nähert sich also asymptotisch der Schlepp-Richtungs-Geraden oder umgekehrt. Lassen wir nun weiters die ganze Traktrixkurve um diese Gerade rotieren, dann entsteht der Tubus-förmige obere Teil der Traktrixfläche, die „imaginäre Halbkugel“ oder obere Pseudosphärenhälfte. Die untere Hälfte ist ihr Spiegelbild, so daß die ganze Pseudosphäre so aussieht, als ob zwei Engelsposaunen mit ihren Trichtern aneinandergelegt wären. Die Spitzen der „Posaunen“ sind unendlich lang und werden stets dünner. Es gibt außerdem noch zwei andere pseudosphärische Rotationsflächen, die bis zu den Rändern unserer Krümmungs-Bedingung <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> genügen. Sie sind aber periodisch, d. h. man müßte in der Richtung der Achse stets wieder neue derartige Flächenstücke aneinanderfügen. Als „pseudosphärische Schultafel“ eignet sich die Form c am besten, wie wir sehen werden.
:Nun gibt es natürlich auch im negativ gekrümmten nichteuklidischen Raum R<sub>2</sub>, also auf der Pseudosphäre, g-Linien als kürzeste Verbindungen zweier Punkte. Wenn man aus solchen „Lobatschefskijschen Geraden“ Dreiecke bildet, wird man die Erfahrung machen, daß hier die „Hypothese des spitzen Winkels“ gilt, daß also bei <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> die Winkelsumme des Dreiecks<math display="inline">\sum < 2R</math>. Daher tritt auch das Parallelenproblem hier in neuer Form auf. Es gibt nämlich auf der Pseudosphäre zu einer g-Linie durch einen Punkt stets zwei parallele g-Linien. Darüber hinaus gibt es unendlich viele g-Linien, die diese andere g-Linie schneiden, und endlich - eine neue Eigentümlichkeit! - unendlich viele g-Linien, die unsere erste g-Linie weder schneiden noch mit ihr parallel sind. Die pseudosphärische, Bolyaische oder Lobatschefskijsche Geometrie ist also ebenfalls eine nichteuklidische Geometrie, und zwar in unserem Fall derenPlanimetrie auf der Fläche mit <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> wobei <math display="inline">\sum < 2R</math> und die Anzahl der Parallelen durch einen Punkt gleich 2 ist. Bevor wir diese letzte Tatsache deutlicher zeigen, stellen wir uns die drei Haupttypen der Geometrien zusammen (siehe Tab. etwas weiter unten).
:Wir bemerken hiezu, daß sich zahllose, vom Parallelenaxiom unabhängige Sätze der Geometrie finden lassen, die naturgemäß in allen drei Arten von Geometrie gelten müssen. Der Inbegriff dieser Sätze ist dann die „absolute Geometrie“, die man auch „Invariante Geometrie“ oder „Pangeometrie“ genannt hat. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 424 picture cutout.jpg|thumb|400 px]]
:Bevor wir aus diesen Erkenntnissen einige Folgerungen ziehen, werden wir noch eine Konstruktion der sogenannten Lobatschefskijschen Parallelen auf einer „pseudosphärischen Schultafel“ zeigen, die wir zuerst schematisch bringen. Einen Beweis geben wir nicht, da er für uns zu viele Voraussetzungen erfordern würde.
:Man hat, um zur g-Linie g' durch einen nicht auf g liegenden Punkt P die beiden Parallelen zu konstruieren, zuerst von P auf g das Lot zu fällen. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 425 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Dies geschieht mittels eines pseudosphärischen Lineals, das, wie das Kugellineal sich der Kugel, so der pseudosphärischen Fläche anschmiegt. Der Fußpunkt dieses Lotes sei O. Nun trägt man von O auf g die beliebige Strecke s ab, deren Endpunkt Q ist. Hierauf zieht man von Q eine Senkrechte auf die g-Linie g<sub>1</sub>, welch letztere man dadurch gewinnt, daß man auf OP in P eine Senkrechte zieht. Wenn man nun mit s als Radius um P einen Kreis schlägt, schneidet er die g-Linie QT in zwei Punkten S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub>. Diese Schnittpunkte bestimmen mit P die beiden zu g durch den Punkt P parallelen (Lobatschefskijschen) g-Linien p<sub>1</sub> und p<sub>2</sub>.▼
▲Senkrechte auf die g-Linie g<sub>1</sub>, welch letztere man dadurch gewinnt, daß man auf OP in P eine Senkrechte zieht. Wenn man nun mit s als Radius um P einen Kreis schlägt, schneidet er die g-Linie QT in zwei Punkten S<sub>1</sub> und S<sub>2</sub>. Diese Schnittpunkte bestimmen mit P die beiden zu g durch den Punkt P parallelen (Lobatschefskijschen) g-Linien p<sub>1</sub> und p<sub>2</sub>.
:Es sind nun alle g-Linien durch P, die g<sub>1</sub> unter einem größeren Winkel als <math>\alpha</math> schneiden, Schneidende zur g-Linie g. Ist dagegen der Schnittwinkel kleiner als <math>\alpha</math>, dann treffen die g-Linien die g-Linie g nicht, ohne jedoch mit ihr parallel zu sein.
:Wir hätten noch nachzutragen, daß alle pseudosphärischen Dreiecke infolge ihrer Winkelsumme <math display="inline">\sum < 2R</math> einen pseudosphärischen Defekt <math>\delta = 180^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)</math> aufweisen, der wie der sphärische Exzeß auf einer und derselben Pseudosphäre mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zunimmt. Anschaulich kann man sich das Wachsen sowohl des Defektes als des Exzesses sehr gut so erklären, daß man sich sagt, ein relativ zur gekrümmten Fläche größeres Dreieck nehme, wenn es wachse, desto stärker an der Krümmung und
| |||