Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

:Als häufigste Form der „Pseudo-Sphäre wird die Traktrix-Fläche erwähnt, die in der nebenstehenden Figur als Form a dargestellt ist. Die von Leibniz, und Huygens im Jahre 1693 untersuchte Traktrix-, Zug- oder Schleppkurve entsteht dadurch, daß man etwa eine Uhr an einer Kette auf einen glatten Tisch legt, die Kette spannt und nun den „Zug“ in einer Geraden ausführt, die (auf dem Endpunkt der Kette) zur gespannten Kette senkrecht steht. Der Mittelpunkt unserer Uhr wird sich mit der Zeit dieser Geraden immer mehr nähern, ohne sie je zu erreichen. Die Traktrix nähert sich also asymptotisch der Schlepp-Richtungs-Geraden oder umgekehrt. Lassen wir nun weiters die ganze Traktrixkurve um diese Gerade rotieren, dann entsteht der Tubus-förmige obere Teil der Traktrixfläche, die „imaginäre Halbkugel“ oder obere Pseudosphärenhälfte. Die untere Hälfte ist ihr Spiegelbild, so daß die ganze Pseudosphäre so aussieht, als ob zwei Engelsposaunen mit ihren Trichtern aneinandergelegt wären. -Die Spitzen der „Posaunen“ sind unendlich lang und werden stets dünner. Es gibt außerdem noch zwei andere pseudosphärische Rotationsflächen, die bis zu den Rändern unserer Krümmungs-Bedingung <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> genügen. Sie sind aber periodisch, d.&nbsp;h. man müßte in der Richtung der Achse stets wieder neue derartige Flächenstücke aneinanderfügen. Als „pseudosphärische Schultafel“ eignet sich die Form c am besten, wie wir sehen werden.

:Nun gibt es natürlich auch im negativ gekrümmten nichteuklidischen Raum R₂, also auf der Pseudosphäre, g-Linien als kürzeste Verbindungen zweier Punkte. Wenn man aus solchen „Lobatschefskijschen Geraden“ Dreiecke bildet, wird man die Erfahrung machen, daß hier die „Hypothese des spitzen Winkels“ gilt, daß also bei <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> die Winkelsumme des Dreiecks<math display="inline">\sum < 2R</math>. Daher tritt auch das Parallelenproblem hier in neuer Form auf. Es gibt nämlich auf der Pseudosphäre zu einer g-Linie durch einen Punkt stets zwei parallele g-Linien. Darüber hinaus gibt es unendlich viele g-Linien, die diese andere g-Linie schneiden, und endlich - eine neue Eigentümlichkeit! - unendlich viele g-Linien, die unsere erste g-Linie weder schneiden noch mit ihr parallel sind. Die pseudosphärische, Bolyaische oder Lobatschefskijsche Geometrie ist also ebenfalls eine nichteuklidische Geometrie, und zwar in unserem Fall derenPlanimetrie auf der Fläche mit <math display="inline">k = - \frac{1}{\varrho^2}</math> wobei <math display="inline">\sum < 2R</math> und die Anzahl der Parallelen durch einen Punkt gleich 2 ist. Bevor wir diese letzte Tatsache deutlicher zeigen, stellen wir uns die drei Haupttypen der Geometrien zusammen (siehe Tab. etwas weiter unten).