Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

:Dies aber nur nebenbei. Wir knüpfen wieder dort an, wo wir die „krummen Räume“ verlassen haben und stellen fest, daß eine krumme Fläche, also ein gekrümmter R₂, der zudem noch nach allen Seiten gleichmäßig gekrümmt ist, so daß sich in ihm die Figuren beliebig drehen und verschieben lassen, wegen der Bedingung <math>\varrho_1 = \varrho_2 = \text{konstant}</math>, das Krümmungsmaß <math display="inline">+ \ \frac{1}{{\varrho}^2}</math>, 0 oder <math display="inline">- \ \frac{1}{{\varrho}^2}</math> haben muß. Nun würde aber zum Krümmungsmaß 0 es schon genügen, wenn <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich wären. Eine Fläche des Krümmungsmaßes <math display="inline">\frac{1}{\varrho_1 \cdot \varrho_2}</math>, wobei <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich, hat auch das Krümmungsmaß 0 und ist trotzdem gekrümmt, wie etwa die Mantelfläche des Kreiszylinders oder Kreiskegels. An diesem Beispiel kann man die Genialität des großen Gauß bewundern. Denn er hat vom Krümmungsmaß die euklidische oder nichteuklidische Struktur der betreffenden Fläche abhängig gemacht. Ist das Krümmungsmaß gleich Null, dann gilt in der betreffenden Fläche die euklidische Geometrie und Axiomatik, ist es von Null verschieden, dann gilt eine der nichteuklidischen Geometrien. Tatsächlich haben Zylinder und Kegel „abwickelbare“ Mantelflächen, die sich ohne „Dehnung“ auf- und abwickeln und damit in die Ebene überführen lassen. Zeichne ich auf ein Blatt Papier irgendwelche geometrische Konstruktionen, dann kann ich dieses Blatt um Zylinder oder Kegel rollen, ohne daß sich die Verhältnisse der Figuren ändern. Und umgekehrt. Nur muß man sich den Vorgang der „Ab-“ bzw. „Aufwicklung“ ins Unendliche fortsetzbar vorstellen, da sonst ein Übergreifen der Figuren entstehen könnte. Daher gibt es dann, auch senkrecht zur Achse, auf den abgewickelten Flächen unendlich lange euklidische Gerade.

:Wir fragen uns nun, welche g-Linien auf den beiden anderen Typen von gekrümmten Flächen existieren und stellen fest, daß bei <math display="inline">\frac{1}{\varrho^2} > 0</math>, also auf der Kugel, die Größtkreise als g-Linien auftreten. Wir haben das schon untersucht und damit begründet, daß zwei Punkte der Kugeloberfläche, sofern sie beide auf einer Halbkugel liegen und wir den Äquator dieser Halbkugel nicht überschreiten dürfen, stets durch einen Größtkreisbogen in kürzester Art verbunden werden. Falls wir den Äquator überschreiten dürfen, gibt es noch die Ergänzung dieses Bogens zum vollen Kreis als Verbindung der beiden Punkte, die aber jetzt nicht mehr die kürzestmögliche, sondern die längstmögliche Verbindungslinie ist. Wären aber die Punkte beide Gegenpunkte oder Pole, dann sind beide Verbindungslinien gleich lang. Nur gibt es jetzt nicht mehr bloß eine einzige Verbindungsmöglichkeit, sondern deren unendlich viele (durch jeden beliebigen Meridianhalbkreis). Man schränkt daher im allgemeinen der Eindeutigkeit halber die Kugelgeometrie auf eine Halbkugel ein.