Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»
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:Natürlich ist durch die physikalische Anwendung heute die nichteuklidische Geometrie ''aktueller'' geworden. Sie geht jetzt nicht mehr bloß die Mathematiker an, sondern verändert sogar das Bild unseres Kosmos, unsere Vorstellungen vom Weltall, von Unendlichkeit des Weltraumes und von der Absolutheit des Zeitablaufs.
:Dies aber nur nebenbei. Wir knüpfen wieder dort an, wo wir die „krummen Räume“ verlassen haben und stellen fest, daß eine krumme Fläche, also ein gekrümmter R<sub>2</sub>, der zudem noch nach allen Seiten gleichmäßig gekrümmt ist, so daß sich in ihm die Figuren beliebig drehen und verschieben lassen, wegen der Bedingung <math>\varrho_1 = \varrho_2 = \text{konstant}</math>, das Krümmungsmaß <math display="inline">+ \ \frac{1}{{\varrho}^2}</math>, 0 oder <math display="inline">- \ \frac{1}{{\varrho}^2}</math> haben muß. Nun würde aber zum Krümmungsmaß 0 es schon genügen, wenn <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich wären. Eine Fläche des Krümmungsmaßes <math display="inline">\frac{1}{\varrho_1 \cdot \varrho_2}</math>, wobei <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich, hat auch das Krümmungsmaß 0 und ist trotzdem gekrümmt, wie etwa die Mantelfläche des Kreiszylinders oder Kreiskegels. An diesem Beispiel kann man die Genialität des großen Gauß bewundern. Denn er hat vom Krümmungsmaß die euklidische oder nichteuklidische Struktur der betreffenden Fläche abhängig gemacht. Ist das Krümmungsmaß gleich Null, dann gilt in der betreffenden Fläche die euklidische Geometrie und Axiomatik, ist es von Null verschieden, dann gilt eine der nichteuklidischen Geometrien. Tatsächlich haben Zylinder und Kegel „abwickelbare“ Mantelflächen, die sich ohne „Dehnung“ auf- und abwickeln und damit in die Ebene überführen lassen. Zeichne ich auf ein Blatt Papier irgendwelche geometrische Konstruktionen, dann kann ich dieses Blatt um Zylinder oder Kegel rollen, ohne daß sich die Verhältnisse der Figuren ändern. Und umgekehrt. Nur muß man sich den Vorgang der „Ab-“ bzw. „Aufwicklung“ ins Unendliche fortsetzbar vorstellen, da sonst ein Übergreifen der Figuren entstehen könnte. Daher gibt es dann, auch senkrecht zur Achse, auf den abgewickelten Flächen unendlich lange euklidische Gerade.
:Wir fragen uns nun, welche g-Linien auf den beiden anderen Typen von gekrümmten Flächen existieren und stellen fest, daß bei <math display="inline">\frac{1}{\varrho^2} > 0</math>, also auf der Kugel, die Größtkreise als g-Linien auftreten. Wir haben das schon untersucht und damit begründet, daß zwei Punkte der Kugeloberfläche, sofern sie beide auf einer Halbkugel liegen und wir den Äquator dieser Halbkugel nicht überschreiten dürfen, stets durch einen Größtkreisbogen in kürzester Art verbunden werden. Falls wir den Äquator überschreiten dürfen, gibt es noch die Ergänzung dieses Bogens zum vollen Kreis als Verbindung der beiden Punkte, die aber jetzt nicht mehr die kürzestmögliche, sondern die längstmögliche Verbindungslinie ist. Wären aber die Punkte beide Gegenpunkte oder Pole, dann sind beide Verbindungslinien gleich lang. Nur gibt es jetzt nicht mehr bloß eine einzige Verbindungsmöglichkeit, sondern deren unendlich viele (durch jeden beliebigen Meridianhalbkreis). Man schränkt daher im allgemeinen der Eindeutigkeit halber die Kugelgeometrie auf eine Halbkugel ein.
:Aus der Form unserer g-Linien auf der Kugel folgt weiter, daß hier das Parallelenpostulat nicht gilt. Es gibt auf der Kugeloberfläche überhaupt keine parallelen g-Linien, sondern alle g-Linien müssen einander, gehörig verlängert, in zwei endlichfernen Punkten schneiden. Aus der Nichtgeltung des Parallelenpostulats aber folgt weiter die Nichtgeltung» des ihm äquivalenten Satzes von der l80grädigen Winkelsumme im Dreieck, die wir auch schon untersucht haben. Da die „innere“ Geometrie der Kugelfläche der „Hypothese des stumpfen Winkels“ gemäß ist, hat das Kıugeldreieck eine Winkelsumme <math display="inline">\sum > 2R</math>. Der Überschuß über zwei Rechte heißt der sphärische Exzeß und ist proportional mit der Größe der Dreiecksfläche relativ zur selben Kugel. Die innere Geometrie der Kugelfläche ist nun eine nichteuklidische Planimetrie des Typus <math display="inline">\sum > 2R</math>, Parallelenanzahl = 0, und wird allgemein die elliptische oder sphärische Geometrie genannt. Bei <math>\varrho_1</math> und <math>\varrho_2</math> gleich unendlich, geht sie in die Planimetrie der Ebene oder, was dasselbe ist, in die euklidische Planimetrie über, die auch die parabolische Geometrie heißt und in diesem Zusammenhang als Grenzfall erscheint. Wird nun das Krümmungsmaß <math display="inline">- \frac{1}{\varrho^2} < 0</math>, dann entsteht auf dieser ne-
gativ gekrümmten Fläche die sogenannte pseudosphä-
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