Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

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:Dies in Kürze die Geschichte der großen Revolution, der größten vielleicht, die die Wissenschaftsgeschichte kennt; wobei wir noch bemerken, daß der Name „nichteuklidisch“ von Gauß selbst stammt. Uns umschwirrt heute dieses Wort. Es wird sozusagen von allen populärwissenschaftlichen Sperlingen vom Dach gepfiffen. Dies rührt davon her, daß Einstein diese Art von Geometrie auf die Physik anzuwenden begann. Damit soll nur festgestellt sein, daß die Laienansicht, die neueste Physik habe die gekrümmten Räume oder gar die vierte Dimension erfunden, durchaus unzutreffend ist, wovon sich überdies jeder durch einen Blick in die gemeinverständliche Darstellung, die Einstein selbst von seiner Theorie gab, überzeugen kann.
:Natürlich ist durch die physikalische Anwendung heute die nichteuklidische Geometrie ''aktueller'' geworden. Sie geht jetzt nicht mehr bloß die Mathematiker an, sondern verändert sogar das Bild unseres Kosmos, unsere Vorstellungen vom Weltall, von Unendlichkeit des Weltraumes und von der Absolutheit des Zeitablaufs.
:Dies aber nur nebenbei. Wir knüpfen wieder dort an, wo wir die „krummen Räume“ verlassen haben und stellen fest, daß eine krumme Fläche, also ein gekrümmter R<sub>2</sub>, der zudem noch nach allen Seiten gleichmäßig gekrümmt ist, so daß sich in ihm die Figuren beliebig drehen und verschieben lassen, wegen der Bedingung <math>\varrho_1 = \varrho_2 = \text{konstant}</math>, das Krümmungsmaß <math>+ \ \frac{1}{{\varroh}^2}</math>, 0 oder <math>- \ \frac{1}{{\varroh}^2}</math> haben muß. Nun würde aber zum Krümmungsmaß 0 es schon genügen, wenn <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich wären. Eine Fläche des Krümmungsmaßes <math\frac{1}{\varroh_1 \cdot \varroh_2}</math>, wobei <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich, hat auch das Krümmungsmaß 0 und ist trotzdem gekrümmt, wie etwa die Mantelfläche des Kreiszylinders oder Kreiskegels. An diesem Beispiel kann man die Genialität des großen Gauß bewundern. Denn er hat vom Krümmungsmaß die euklidische oder nichteuklidische Struktur der betreffenden Fläche abhängig gemacht. Ist das Krümmungsmaß gleich Null, dann gilt in der betreffenden Fläche die euklidische Geometrie und Axiomatik, ist es von Null verschieden, dann gilt eine der nichteuklidischen Geometrien. Tatsächlich haben Zylinder und Kegel „abwickelbare“ Mantelflächen, die sich ohne „Dehnung“ auf- und abwickeln und damit in die Ebene überführen lassen. Zeichne ich auf ein Blatt Papier irgendwelche geometrische Konstruktionen, dann kann ich dieses Blatt um Zylinder oder Kegel rollen, ohne daß sich die Verhältnisse der Figuren ändern. Und umgekehrt. Nur muß man sich den Vorgang der „Ab-“ bzw. „Aufwicklung“ ins Unendliche fortsetzbar vorstellen, da sonst ein Übergreifen der Figuren entstehen könnte. Daher gibt es dann, auch senkrecht zur Achse, auf den abgewickelten Flächen unendlich lange euklidische Gerade.
 
 
<math>{\varroh}^2</math>
 
<math>\varroh^3</math>
 
<math>+ \ \frac{1}{{\varroh}^2}</math>, 0 oder
 
 
 
 
 
 
<math>- \ \frac{1}{{\varroh}^2}</math>
 
 
 
 
 
 
haben muß. Nun würde aber zum Krümmungsmaß 0 es schon genügen, wenn <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich wären. Eine Fläche des Krümmungsmaßes <math\frac{1}{\varroh_1 \cdot \varroh_2}</math>, wobei <math>\varrho_1</math> oder <math>\varrho_2</math> gleich unendlich, hat auch das Krümmungsmaß 0 und ist trotzdem gekrümmt, wie etwa die Mantelfläche des Kreiszylinders oder Kreiskegels. An diesem Beispiel kann man die Genialität des großen Gauß bewundern. Denn er hat vom Krümmungsmaß die euklidische oder nichteuklidische Struktur der betreffenden Fläche abhängig gemacht. Ist das Krümmungsmaß gleich Null, dann gilt in der betreffenden Fläche die euklidische Geometrie und Axiomatik, ist es von Null verschieden, dann gilt eine der nichteuklidischen Geometrien. Tatsächlich haben Zylinder und Kegel „abwickelbare“ Mantelflächen, die sich ohne „Dehnung“ auf- und abwickeln und damit in die Ebene überführen lassen. Zeichne ich auf ein Blatt Papier irgendwelche geometrische Konstruktionen, dann kann ich dieses Blatt um Zylinder oder Kegel rollen, ohne daß sich die Verhältnisse der Figuren ändern. Und umgekehrt. Nur muß man sich den Vorgang der „Ab-“ bzw. „Aufwicklung“ ins Unendliche fortsetzbar vorstellen, da sonst ein Übergreifen der Figuren entstehen könnte. Daher gibt es dann, auch senkrecht zur Achse, auf den abgewickelten Flächen unendlich lange euklidische Gerade.
:Wir fragen uns nun, welche g-Linien auf den beiden anderen Typen von gekrümmten Flächen existieren und stellen fest, daß bei <math>\frac{1}{\varrho^2} > 0</math>, also auf der Kugel, die Größtkreise als g-Linien auftreten. Wir haben das schon untersucht und damit begründet, daß zwei Punkte der Kugeloberfläche, sofern sie beide auf einer Halbkugel liegen und wir den Äquator dieser Halbkugel nicht