Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»
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::<small>Dabei ist die Gleichheit natürlich stets bloß für die Absolutwerte von <math>\varrho</math> und <math>\varrho_1</math> behauptet. Es heißt also hier <math>\varrho = \pm \ \varrho_1</math> soviel wie <math>| \varrho | = | \varrho_1 |</math></small>
:Solcher Flächen gibt es drei Arten. Sind <math>\varrho = \varrho_1</math> beide positiv, dann handelt es sich um die Kugelfläche (sphärische Fläche). Sind <math>\varrho</math> und <math>\varrho_1</math> zwar dem Wert, nicht aber dem Vorzeichen nach gleich, dann erhalten wir die negativ konstant gekrümmte Fläche, die an jedem Punkt der regelmäßigen Sattelfläche gleichen muß, und die manchmal allgemein als Pseudo-Sphäre, bezeichnet wird. Bis Beltrami (1868) glaubte man, diese Fläche sei eine imaginäre Kugel, da sich aus einem Kugel-Radius <math>r = iR</math> tatsächlich das Krümmungsmaß <math display="inline">K = - \frac{1}{R^2}</math> gewinnen läßt. Heute weiß man jedoch, “daß dieser Bedingung auch höchst reellpunktige Flächen entsprechen können. Nimmt man schließlich den Krümmungsradius positiv oder negativ gleich unendlich an, dann erhält man als Krümmungsmaß der Fläche <math display="inline">\frac{1}{\infty^2}</math> oder <math display="inline">- \frac{1}{\infty^2}</math>, was beides bekanntlich als Null anzusprechen ist. Diese konstant gekrümmte Fläche des Krümmungsmaßes Null ist aber die Ebene.
:Nach dieser Vorbemerkung sind wir nun imstande, die Geschichte der nichteuklidischen Geometrien kurz zu skizzieren, worauf wir dann ihr Wesen schildern können. Wir haben übrigens gelegentlich schon oft über ihre Problematik gesprochen. Wir wissen etwa, daß man bereits im Altertum dem Parallelenaxiom oder -postulat nicht recht traute. Ob dafür die komplizierte Fassung, die Euklid diesem Postulat gegeben hat, allein verantwortlich war, ist zweifelhaft. Tatsachen wie die Hyperbelasymptoten trugen gewiß auch zu diesem Mißtrauen bei, was wir übrigens ebenfalls schon ausführten. Man mühte sich also, das Postulat zu „beweisen“, d. h. es auf einfachere Axiome zurückzuführen, und der Byzantinische Mathematiker Proklos (410-485 n. Chr. Geb.) gab ihm eine vereinfachte Fassung, die 'folgendermaßen lautete: „Wenn a eine Parallele zu g durch den Punkt P ist, so gibt es keine zweite von a verschiedene Parallele zu g durch diesen Punkt P.“ Naturgemäß schlugen alle „Beweise“ fehl, und mehr als ein Jahrtausend später ging man dazu über, „Hypothesen“ aufzustellen, nach denen zwei auf einer Geraden errichtete Lote die Basisgerade unter stumpfem oder spitzem Winkel treffen sollten. Im Jahre,
:a) Gauß selbst war dem Geheimnis bald auf der Spur. Er entwickelte selbständig eine widerspruchsfreie Geometrie, bei der das Parallelenpostulat nicht galt und die Winkelsumme im Dreieck kleiner war als 180°. Er veröffentlichte aber nichts darüber und schrieb noch 1829 an den großen Astronomen Bessel, er fürchte das Geschrei der Böotier, wenn er seine Ansicht ganz aussprechen würde. Dieses rätselhafte Verhalten des größten aller Mathematiker harrt auch heute noch der psychologisch-geschichtlichen Aufklärung.
:b) Zur grundsätzlich selben Geometrie gelangte der Jurist Schweikart, der seine Gedanken an Gauß weitergab und von diesem Lob erntete.
:c) Der Neffe Schweikarts, Taurinus, veröffentlichte als erster im Jahre 1825 Erörterungen über unseren Gegenstand, wobei er sowohl die Hypothese des spitzen als des stumpfen Winkels erörterte und auch von der imaginären Kugel sprach. Er verfiel allerdings wieder in den Fehler Saccheris und behauptete schließlich die Alleingültigkeit des Parallelenpostulats im Sinne Euklids.
:d) Erst der Sohn W. Bolyais, der ungarische Genieoffizier Johann Bolyai, baute 1823 eine mit der Gaußschen identische „nichteuklidische“ Geometrie (nach der Hypothese des spitzen Winkels) aus und veröffentlichte sie im Jahre 1832.
:e) Ebenfalls unabhängig von allen anderen
::<small>Wenn man davon absieht, daß ein Schüler Gaußens Kollege des Russen an der Universität war, der ihm vielleicht von der Beschäftigung Gaußens mit dem Parallelenproblem sprach.</small>
:gelangte der Russel. N. Lobatschefskij (1793-1856) im Jahre 1826 zur nämlichen nichteuklidischen Geometrie und legte seine Entdeckung seiner Universität Kasan vor („Kasaner Abhandlung“). Die Veröffentlichung erfolgte 1829-1840. Lobatschefskij stellte seine Geometrie ausdrücklich als gleichberechtigt neben die euklidische.
:f) In aller Allgemeinheit bereitete der geniale Bernhard Riemann,fein Schüler von Gauß und später Professor in Göttingen, im Jahre 1854 den endgültigen Sieg der Revolution vor. Seine Habilitationsschrift „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“, die Gauß noch anhörte, kennt bereits alle drei Geometrien mit <math>\sum = 2R</math>, <math>\sum > 2R</math> und <math>\sum < 2R</math>, wobei <math>\sum</math> die Winkelsumme des Dreiecks bedeutet.
:g) Den vollen Sieg bereiteten dann Beltrami, und F. Klein zwischen 1868 und 1871, die beide die Reellpunktigkeit auch der negativ konstant gekrümmten Fläche, also der angeblichen imaginären Kugel nachwiesen und darüber hinaus das geometrische Weltbild ebenso vereinfachten wie erweiterten.
:Dies in Kürze die Geschichte der großen Revolution, der größten vielleicht, die die Wissenschaftsgeschichte kennt; wobei wir noch bemerken, daß der Name „nichteuklidisch“ von Gauß selbst stammt. Uns umschwirrt heute dieses Wort. Es wird sozusagen von allen populärwissenschaftlichen Sperlingen vom Dach gepfiffen. Dies rührt davon her, daß Einstein diese Art von Geometrie auf die Physik anzuwenden begann. Damit soll nur festgestellt sein, daß die Laienansicht, die neueste Physik habe die gekrümmten Räume oder gar die vierte Dimension erfunden, durchaus unzutreffend ist, wovon sich überdies jeder durch einen Blick in die gemeinverständliche Darstellung, die Einstein selbst von seiner Theorie gab, überzeugen kann.
:Natürlich ist durch die physikalische Anwendung heute die nichteuklidische Geometrie ''aktueller'' geworden. Sie geht jetzt nicht mehr bloß die Mathematiker an, sondern verändert sogar das Bild unseres Kosmos, unsere Vorstellungen vom Weltall, von Unendlichkeit des Weltraumes und von der Absolutheit des Zeitablaufs.
:Dies aber nur nebenbei. Wir knüpfen wieder dort an, wo wir die „krummen Räume“ verlassen haben und stellen fest, daß eine krumme Fläche, also ein gekrümm-
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