Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

:Solcher Flächen gibt es drei Arten. Sind <math>\varrho = \pm \ \varrho_1</math> beide positiv, dann handelt es sich um die Kugelfläche (sphärische Fläche). Sind <math>\varrho</math> und <math>\varrho_1</math> zwar dem Wert, nicht aber dem Vorzeichen nach gleich, dann erhalten wir die negativ konstant gekrümmte Fläche, die an jedem Punkt der regelmäßigen Sattelfläche gleichen muß, und die manchmal allgemein als Pseudo-Sphäre, bezeichnet wird. Bis Beltrami (1868) glaubte man, diese Fläche sei eine imaginäre Kugel, da sich aus einem Kugel-Radius <math>r = iR</math> tatsächlich das Krümmungsmaß <math display="inline">K = - \frac{1}{R^2}</math> gewinnen läßt. Heute weiß man jedoch, “daß dieser Bedingung auch höchst reellpunktige Flächen entsprechen können. Nimmt man schließlich den Krümmungsradius positiv oder negativ gleich unendlich an, dann erhält man als Krümmungsmaß der Fläche <math display="inline">\frac{1}{\infty^2}</math> oder <math display="inline">- \frac{1}{\infty^2}</math>, was beides bekanntlich als Null anzusprechen ist. Diese konstant gekrümmte Fläche des Krümmungsmaßes Null ist aber die Ebene.

:Nach dieser Vorbemerkung sind wir nun imstande, die Geschichte der nichteuklidischen Geometrien kurz zu skizzieren, worauf wir dann ihr Wesen schildern können. Wir haben übrigens gelegentlich schon oft über ihre Problematik gesprochen. Wir wissen etwa, daß man bereits im Altertum dem Parallelenaxiom oder -postulat nicht recht traute. Ob dafür die komplizierte Fassung, die Euklid diesem Postulat gegeben hat, allein verantwortlich war, ist zweifelhaft. Tatsachen wie die Hyperbelasymptoten trugen gewiß auch zu diesem Mißtrauen bei, was wir übrigens ebenfalls schon ausführten. Man mühte sich also, das Postulat zu „beweisen“, d.&nbsp;h. es auf einfachere Axiome zurückzuführen, und der Byzantinische Mathematiker Proklos (410-485 n.&nbsp;Chr.&nbsp;Geb.) gab ihm eine vereinfachte Fassung, die 'folgendermaßen lautete: „Wenn a eine Parallele zu g durch den Punkt P ist, so gibt es keine zweite von a verschiedene Parallele zu g durch diesen Punkt P.“ Naturgemäß schlugen alle „Beweise“ fehl, und mehr als ein Jahrtausend später ging man dazu über, „Hypothesen“ aufzustellen, nach denen zwei auf einer Geraden errichtete Lote die Basisgerade unter stumpfem oder spitzem Winkel treffen sollten. Im Jahre, I733 veröffentlichte der Jesuit G.&nbsp;Saccheri sein Werk „Euklid, von jedem Makel gereinigt", in dem er eine solche „Hypothese“ (des stumpfen Winkels) aufstellte und widerlegte. Diese Widerlegung war aber falsch, so daß eigentlich Saccheri mit seinen richtigen Prämissen den Reigen der „Nichteuklidiker“ eröffnete. J.&nbsp;H.&nbsp;Lambert (1728-1777), der beide Hypothesen untersuchte, drang ziemlich weit vor, zog das sphärische Dreieck (Winkelsumme größer als 180°) in den Kreis der Betrachtung, wobei er sich der Äquivalenz von Dreieckswinkelsumme und Parallelenpostulat bewußt war. Er sprach sogar schon von der „imaginären Kugel“. Und G.&nbsp;S.&nbsp;Klügel (1739-1812) sowie der große Geometriker Legendre (1752-1833) stießen gleichfalls auf das Problem, wobei sie es allerdings bei Zweifeln an der Denknotwendigkeit (Apriorität) des Parallelenpostulats bewenden ließen. Oder gar die Falschheit der „Hypothesen“ durch Scheinbeweise zu erhärten suchten. Die große Revolution der Geometrie beginnt so eigentlich erst mit Gauß, der sich schon 1799 mit dem Parallelenpostulat beschäftigte, wie aus seinem Brief an Wolfgang Bolyai hervorgeht. W.&nbsp;Bolyai selbst beschäftigte sich ein Leben lang mit diesem Gegenstand, um schließlich die Nichtigkeit seiner Bemühung einzusehen, Euklid voll zu rechtfertigen. Und nun begann eine der merkwürdigsten Entdeckungs-Gleichzeitigeiten der Wissenschaftsgeschichte, die wir, um nicht zu verwirren, schematisch darstellen müssen: