Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 243c»

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:Wir erhalten als das Krümmungsmaß dann das Produkt der beiden Krümmungsmaße der beiden Kurvenelemente, die sich durch den Schnitt der Ebenen ergeben, also <math display="inline">\frac{1}{\varrho} \cdot \frac{1}{\varrho'}</math> oder <math display="inline">\frac{1}{\varrho \cdot \varrho'}</math>. Ist eine der Kurven so gekrümmt, daß die beiden Krümmungsmittelpunkte auf verschiedenen Seiten der gekrümmten Fläche liegen, dann muß <math>\varrho</math> oder <math>\varrho'</math> negatives Vorzeichen erhalten. Dadurch wird aber der ganze Bruch negativ <math display="inline">(- \frac{1}{\varrho \cdot \varrho'})</math> und wir sprechen von Flächen negativer Krümmung oder Sattelflächen, die wir in der Figur zeigen.
:Wenn nun, wie immer man auch die Schnittebenen die krumme Fläche schneiden läßt, beide Krümmungsradien sich stets als einander gleich ergeben, dann haben wir eine Fläche positiver oder negativer konstanter Krümmung vor uns, deren Krümmungsmaß naturgemäß, da <math>\varrho = \pm \varrho_1</math>, stets <math display="inline">\pm \frac{1}{\varrho^2}</math> sein muß.
naturgemäß, da <math>\varrho = \pm \varrho_1</math>, stets <math>\pm \frac{1}{\varrho^2}</math> sein muß.
::<small>Dabei ist die Gleichheit natürlich stets bloß für die Absolutwerte von <math>\varrho</math> und <math>\varrho_1</math> behauptet. Es heißt also hier <math>\varrho = \pm \varrho_1</math> soviel wie <math>| \varrho | = | \varrho_1 |</math></small>
:Solcher Flächen gibt es drei Arten. Sind <math>\varrho = \pm \varrho_1</math> beide positiv, dann handelt es sich um die Kugelfläche (sphärische Fläche). Sind <math>\varrho</math> und <math>\varrho_1</math> zwar dem Wert, nicht aber dem Vorzeichen nach gleich, dann erhalten wir die negativ konstant gekrümmte Fläche, die an jedem Punkt der regelmäßigen Sattelfläche gleichen muß, und die manchmal allgemein als Pseudo-Sphäre, bezeichnet wird. Bis Beltrami (1868) glaubte man, diese Fläche sei eine imaginäre Kugel, da sich aus einem Kugel-Radius <math>r = iR</math> tatsächlich das Krümmungsmaß <math display="inline">K = - \frac{1}{R^2}</math> gewinnen läßt. Heute weiß man jedoch, “daß dieser Bedingung auch höchst reellpunktige Flächen entsprechen können. Nimmt man schließlich den Krümmungsradius positiv oder negativ gleich unendlich an, dann erhält man als Krümmungsmaß der Fläche <math display="inline">\frac{1}{\infty}</math> oder <math display="inline">- \frac{1}{\infty^2}</math>, was beides bekanntlich als Null anzusprechen ist. Diese konstant gekrümmte Fläche des Krümmungsmaßes Null ist aber die Ebene.
:Nach dieser Vorbemerkung sind wir nun imstande, die Geschichte der nichteuklidischen Geometrien kurz zu skizzieren, worauf wir dann ihr Wesen schildern können. Wir haben übrigens gelegentlich schon oft über ihre Problematik gesprochen. Wir wissen etwa, daß man bereits im Altertum dem Parallelenaxiom oder -postulat nicht recht traute. Ob dafür die komplizierte Fassung, die Euklid diesem Postulat gegeben hat, allein verantwortlich war, ist zweifelhaft. Tatsachen wie die Hyperbelasymptoten trugen gewiß auch zu diesem Mißtrauen bei, was wir übrigens ebenfalls schon ausführten. Man mühte sich also, das Postulat zu „beweisen“, d. &nbsp;h. es auf einfachere Axiome