Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 242c»
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Línea 163:
:zu gewinnen sein muß, die bei zwei gegebenen Stücken als Gleichung mit “einer Unbekannten immer sofort aufgelöst, werden kann, wozu noch kommt, daß sich alle diese Formeln für die Logarithmierung einwandfrei eignen. Die Winkelfunktionen von <math>(90 - \alpha)</math> und <math>(90 - \beta)</math> ersetzt man in schon erwähnter Art durch die Gegenfunktionen. Der sechste Bestandteil des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks, der Winkel <math>\psi</math> oder der rechte Winkel, erscheint nicht in den Formeln, weil er stets als gegeben vorausgesetzt wird; analog, wie dies in der ebenen Trigonometrie gehandhabt wird. Hätten wir also die „Hypotenuse“ <math>\gamma</math> und die Seite <math>\beta</math> gegeben und suchten wir den Winkel <math>\chi</math>, dann hätten wir den Fall vor uns, wie er in der zweiten Zeichnung der obigen Figur vorliegt. Wir bezeichnen also die Ecke <math>(90 - \beta)</math> mit III, woraus sich die Ecken <math>\chi</math> und <math>\gamma</math> nach beiden Seiten als I und V ergeben müssen. Wir schreiben sofort <math>cos \ (90 - \beta) = sin \ \chi \cdot sin \ \gamma</math> oder <math>sin \ \beta = sin \ \chi \cdot sin \ \gamma</math> und erhalten den gesuchten <math>sin \ \chi = \frac{sind \ \beta}{sin \ \gamma}</math>. Nach unserer Bezeichnung verwendeten wir also die Grundgleichung 2'.
:Wir haben leider nicht den Raum, nunmehr auch die Sätze für schiefwinklige sphärische Dreiecke abzuleiten. Damit der Leser aber innerhalb dieses Buches eine gewisse Vollständigkeit vorfindet, werden wir die Formeln wenigstens notieren. Es sei bemerkt, daß sie beiläufig den Formeln der ebenen Trigonometrie für schiefwinklige Dreiecke entsprechen und ebenso wie diese aus den Formeln für rechtwinklige (hier natürlich sphärische) Dreiecke gewonnen werden.
:Es gibt vier grundlegende Gleichungen für schiefwinklige sphärische Dreiecke, da je vier Bestandteile eines sphärischen Dreiecks nur auf folgende Arten zu einer Formel vereinigt werden können:
:1. Zwei „Seiten“ und zwei gegenüberliegende Winkel. Dies leistet der sogenannte Sinussatz der Sphärik. Er lautet in der einfachsten Form
Línea 199 ⟶ 196:
:<math>cos \ \psi = - cos \ \varphi \cdot cos \ \chi + sin \ \varphi \cdot sin \ \chi \cdot sin \ \gamma </math>.
:Wir hätten bloß noch beizufügen, daß für den sphärischen Exzeß nach den Formeln von Delambre, fälschlich auch Gauß'sche Formeln genannt, die sogenannte L'Hulier'sche Gleichung besteht, die es gestattet, den Exzeß aus den drei „Seiten“ zu berechnen. Wenn man unter s die halbe Summe der drei Seiten versteht, wenn also
:<math>s = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}</math>, dann ist der Exzeß :<math>\varepsilon</math> bzw. <math>tg \frac{\varepsilon}{4} = \sqrt{ tg \frac{s}{2} \cdot tg \frac{s -\alpha}{2} \cdot tg \frac{s - \beta}{2} \cdot tg \frac{s - \gamma}{2} }</math>. :Dabei ist nur der positive Wert der Wurzel zu berücksichtigen. Außerdem existiert noch eine Gleichung, nach der man den Exzeß aus zwei „Seiten“ und einem Winkel berechnen kann. Wieder gewinnt man vorweg nur den Tangens des Exzesses.
:Die Formel hat die Form <math>tg \frac{\varepsilon}{2} = \frac{ tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\beta}{2} \sin \ \chin }{1 + tg \frac{\alpha}{2} tg \frac{\beta}{2} cos \ \chi }</math> <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 411 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Wir wollen aber jetzt nicht mehr weiter in das Formeldickicht der sphärischen Trigonometrie eindringen, das zum großen Teil geschaffen wurde, um die Formeln bequem logarithmieren zu können. Übrigens hat Gauß für solche Zwecke einen eigenen Typus von Logarithmen, die sogenannten Gauß'schen oder Additionslogarithmen geschaffen, die in größeren logarithmischen Tafelwerken enthalten sind und eigens der Behandlung sphärischer Formeln dienen.
:Hiemit schließen wir eigentlich unsere Studien über die Elementargeometrie ab. Wir wollen nur, um Mißverständnissen vorzubeugen, noch anmerken, daß für die Vermessung kleinerer Stücke der Erdoberfläche (Grundstücke, Wälder, Teiche usw.) durchaus nicht die sphärische Trigonometrie in Anwendung kommt, sondern die ebene, da ja der Exzeß praktisch unmerkbar ist. Die Nautik (Schiffahrtskunde) dagegen verwendet, ebenso wie die Astronomie, vorwiegend die sphärische Trigonometrie. Ein Übergang zwischen beiden Arten von Trigonometrie ist dann gegeben, wenn der Radius der Kugel praktisch oder theoretisch gleich unendlich wird. Dann werden sämtliche Kanten des „Dreikants“ parallel und die Krümmung der Kugel wird gleich Null. Die Kugeloberfläche wird eine Ebene und die Größtkreise werden euklidische Gerade, die sich erst im unendlich fernen Punkte schneiden können, falls sie irgendwo parallel sind. Die Winkel des Dreiecks müssen jetzt auch zusammen 180° als Summe ergeben, da jeder sphärische Exzeß verschwindet. Wenn dagegen der Kugelradius unendlich klein wird, schrumpfen dadurch die Kugel und damit jedes sphärische Dreieck zu einem Punkt zusammen.
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