Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 242c»

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[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 404 picture cutout.jpg|thumb|400 px]]
:In unserem sphärischen Dreieck ABC mit den „Seiten“ <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, und den Winkeln <math>\varphi</math>, <math>\chi</math>, <math>\psi</math>, ist der Winkel <math>\psi</math> der rechte Winkel und sonach die Seite <math>\gamma</math> die sphärische Hypotenuse. M ist der Mittelpunkt der Kugel. Wenn wir nun aus Punkt B auf die Dreikantkanten MC und MA Lote fällen und „deren Schnittpunkte mit den Kanten miteinander verbinden, dann muß BE auch senkrecht auf ED stehen, da die Ebenen MBC und MCA aufeinander senkrecht stehen (weil ja <math>\psi</math> einrechter Winkel ist und weil bei zueinander senkrechten Ebenen' das Lot auf die Schnittlinie dieser Ebenen auch ein Lot zur zweiten Ebene (MAC) sein muß). Weiters steht auch DE auf MA senkrecht, da ein aus dem Fußpunkt einer geneigten Linie (DB) in der Ebene (MAC) gezogener Strahl (AM), der mit der geneigten Linie einen rechten Winkel bildet (<math>\sphericalangle BDM</math>) auch auf der Projektion (DE) dieser geneigten Linie senkrecht stehen muß (<math>\sphericalangle ADE</math>). Daher bilden BD und DE den Neigungswinkel der beiden Ebenen ABM und ACM, was nichts anderes bedeutet, als daß dieser Neigungswinkel der beiden Dreikantflächen mit dem sphärischen Winkel <math>\varphi</math> gleich sein muß.
 
 
 
 
:Nun haben wir ein ebenes Dreieck BDE, das durch mehrere Beziehungen sowohl mit dem sphärischen Dreieck als mit dem Dreikant zusammenhängt. Wir beherrschen dadurch also? sowohl die Winkel als auch die „Seiten“ des Kugel-Dreiecks und können sie auf Formeln der ebenen Trigonometrie zurückführen. Zuerst gilt im Dreieck MBE die Beziehung <math>MB \cdot cos \ \alpha = ME</math>, dann im Dreieck MED die Beziehung <math>ME \cdot cos \ \beta = MD</math>, daher auch <math>MB \cdot cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = MD</math>. Da aber im Dreieck MBD wohl <math>MB \cdot cos \gamma = MD</math>, so ergibt sich aus der Gleichsetzung der beiden Werte für MD die Gleichung <math>MB \cdot cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = MB \cdot cos \ \gamma</math> oder nach Division durch MB die erste grundlegende Beziehung der „Seiten“ im rechtwinkligen Kugel-Dreieck:
 
::1.) <math>cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = cos \ \gamma</math>, wobei <math>\gamma</math> die „Hypotenuse“ ist.
:Die aus derselben Figur in ähnlicher Weise zu gewinnenden anderen Grundgleichungen lauten:
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::6.) <math>cot \ \varphi \cdot cot \ \chi = cos \ \gamma</math>.
:Durch Vertauschung der Katheten ergeben sich weiters
 
 
::2') <math>sin \ \gamma \cdot sin \ \chi = sin \ \beta </math>
::3'.) <math>tg\ \gamma \cdot cos \ \varphichi = tg \ \betaalpha</math>;
::54'.) <math>cossin \ \alpha \cdot sintg \ \chi = costg \ \varphibeta</math>;
::45'.) <math>sin \cdotcos \ \beta \cdot tgsin \ \varphi = tgcos \ \alphachi</math>;
:Nun hat Napier (Neper) eine Regel angegeben, aus der man alle diese Formeln rein mechanisch gewinnen kann. Sie wird auch die Napier'sche Fünfeckregel genannt und hängt aufs engste mit dem Gaußsehen „Pentagramma myrificum“ oder dem wundertätigen Kugel-Sternfünfeck von C.&nbsp;F.&nbsp; Gauß zusammen, bezüglıeh dessen wir strebsame Leser auf das schon mehrfach zitierte Buch von Hans Mohrmann verweisen. Wir selbst geben die Regel in einer logisch und mathematisch weniger befriedigenden, jedoch einfacheren Art und bitten für die Richtigkeit des Vorgetragenen um Kredit.
:Wenn wir also ein Fünfeck (es können auch fünf Punkte auf einem Kreise oder schlechthin fünf Punkte sein, von denen niemals mehr als zwei in einer Geraden
 
 
::3'.) <math>tg\ \gamma \cdot cos \ \varphi = tg \ \beta</math>;
::4'.) <math>sin \cdot \ \beta \cdot tg \ \varphi = tg \ \alpha</math>;
::5'.) <math>cos \ \alpha \cdot sin \ \chi = cos \ \varphi</math>;
 
 
 
 
 
 
sin y - sin 7; = sin ß; 3.') tg y - eos 1 = =_t=g(1§4-') Sina -tg1=tgß;5.')COSß-Sincp= COSX.
 
 
:Nun hat Napier (Neper) eine Regel angegeben, aus der man alle diese Formeln rein mechanisch gewinnen kann. Sie wird auch die Napier'sche Fünfeckregel genannt und hängt aufs engste mit dem Gaußsehen „Pentagramma myrificum“ oder dem wundertätigen Kugel-Sternfünfeck von C.&nbsp;F.&nbsp; Gauß zusammen, bezüglıeh dessen wir strebsame Leser auf das schon mehrfach zitierte Buch von Hans Mohrmann verweisen. Wir selbst geben die Regel in einer logisch und mathematisch weniger befriedigenden, jedoch einfacheren Art und bitten für die Richtigkeit des Vorgetragenen um Kredit.
:Wenn wir also ein Fünfeck (es können auch fünf Punkte auf einem Kreise oder schlechthin fünf Punkte sein, von denen niemals mehr als zwei in einer Geraden
 
 
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Ebenen auch ein Lot zur zweiten Ebene (MAC) sein muß). Weiters steht auch DE auf MA senkrecht, da ein aus dem Fußpunkt einer geneigten Linie (DB) in der Ebene (MAC) gezogener Strahl (AM), der mit der geneigten Linie einen rechten Winkel bildet (<math>\sphericalangle BDM</math>) auch auf der Projektion (DE) dieser geneigten Linie senkrecht stehen muß (<math>\sphericalangle ADE</math>). Daher bilden BD und DE den Neigungswinkel der beiden Ebenen ABM und ACM, was nichts anderes bedeutet, als daß dieser Neigungswinkel der beiden Dreikantflächen mit dem sphärischen Winkel <math>\varphi</math> gleich sein muß.
 
 
 
<math>\sphericalangle