Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 242c»
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:<math>I_{(ABC)} = \frac{r^2 \pi}{2} = r^2 \pi \frac{90^\circ}{180^\circ} = r^2 \pi \cdot \frac{1}{2}</math>,
:was unsere Behauptung bestätigt. Was also ist auf der Kugel ein rechtwinkliges Dreieck? Wir verraten es ohne lange Umschweife: Ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck liegt dann vor, wenn mindestens einer der Winkel ein rechter ist. Hat das Dreieck außerdem noch einen zweiten oder dritten rechten Winkel, dann ändert dies nichts an seinen Eigenschaften, und. ich betrachte sodann die allfälligen anderen rechten Winkel als gewöhnliche Winkel. Wir verraten weiters vorgreifend, daß die Trigonometrie des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks sechs Grundgleichungen kennt, von denen wir jedoch nur die erste ableiten werden. Alle anderen Grundgleichungen und deren Varianten werden wir aus den sogenannten Napier'schen (oder Neper'schen) Regeln leicht und sicher gewinnen können. Sir John Napier (Neper), der auch als angeblicher Entdecker des natürlichen Logarithmus (daher „Nepersche Logarithmen“) berühmt wurde, war ein englischer Astronom und Mathematiker des XVI. Jahrhunderts. Die von uns angekündigte Ableitung stützt sich auf Sätze über das Dreikant und auf die Grundformeln der ebenen Trigonometrie, die uns schon geläufig sind. <br style="clear:both;" />
:In unserem sphärischen Dreieck ABC mit den „Seiten“ <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, und den Winkeln <math>\varphi</math>, <math>\chi</math>, <math>\psi</math>, ist der Winkel <math>\psi</math> der rechte Winkel und sonach die Seite <math>\gamma</math> die sphärische Hypotenuse. M ist der Mittelpunkt der Kugel. Wenn wir nun aus Punkt B auf die Dreikant-▼
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▲:In unserem sphärischen Dreieck ABC mit den „Seiten“ <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, und den Winkeln <math>\varphi</math>, <math>\chi</math>, <math>\psi</math>, ist der Winkel <math>\psi</math> der rechte Winkel und sonach die Seite <math>\gamma</math> die sphärische Hypotenuse. M ist der Mittelpunkt der Kugel. Wenn wir nun aus Punkt B auf die
:Nun haben wir ein ebenes Dreieck BDE, das durch mehrere Beziehungen sowohl mit dem sphärischen Dreieck als mit dem Dreikant zusammenhängt. Wir beherrschen dadurch also? sowohl die Winkel als auch die „Seiten“ des Kugel-Dreiecks und können sie auf Formeln der ebenen Trigonometrie zurückführen. Zuerst gilt im Dreieck MBE die Beziehung <math>MB \cdot cos \ \alpha = ME</math>, dann im Dreieck MED die Beziehung <math>ME \cot cos \ \beta = MD</math>, daher auch <math></math>MB \cdot cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = MD. Da aber im Dreieck MBD wohl <math>MB \cdot cos \gamma = MD</math>, so ergibt sich aus der Gleichsetzung der beiden Werte für MD die Gleichung <math>MB \cdot cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = MB \cdot cos \ \gamma</math> oder nach Division durch MB die erste grundlegende Beziehung der „Seiten“ im rechtwinkligen Kugel-Dreieck:
::1.) <math>cos \ \alpha \cdot cos \ \beta = cos \ \gamma</math>, wobei <math>\gamma</math> die „Hypotenuse“ ist.
:Die aus derselben Figur in ähnlicher Weise zu
gewinnenden anderen Grundgleichungen lauten:
::2.) <math></math> sin a; W3.) tgy -cos ıp = tgß; 4.) sin -tg<p= tga; 5.) cosa-_sinx=cos<p; 6.) cot<p-cotx= = cos y.”
:Durch Vertauschung der Katheten ergeben
sich weiters
::2') <math>sin \ \gamma \cdot sin \ \chi = \ \beta </math>
sin y - sin 7; = sin ß; 3.') tg y - eos 1 = =_t=g(1§4-') Sina -tg1=tgß;5.')COSß-Sincp= COSX.
:Nun hat Napier (Neper) eine Regel angegeben, aus der man alle diese Formeln rein mechanisch gewinnen kann. Sie wird auch die Napier'sche Fünfeckregel genannt und hängt aufs engste mit dem Gaußsehen „Pentagramma myrificum“ oder dem wundertätigen Kugel-Sternfünfeck von C. F. Gauß zusammen, bezüglıeh dessen wir strebsame Leser auf das schon mehrfach zitierte Buch von Hans Mohrmann verweisen. Wir selbst geben die Regel in einer logisch und mathematisch weniger befriedigenden, jedoch einfacheren Art und bitten für die Richtigkeit des Vorgetragenen um Kredit.
:Wenn wir also ein Fünfeck (es können auch fünf Punkte auf einem Kreise oder schlechthin fünf Punkte sein, von denen niemals mehr als zwei in einer Geraden
Ebenen auch ein Lot zur zweiten Ebene (MAC) sein muß). Weiters steht auch DE auf MA senkrecht, da ein aus dem Fußpunkt einer geneigten Linie (DB) in der Ebene (MAC) gezogener Strahl (AM), der mit der geneigten Linie einen rechten Winkel bildet (<math>\sphericalangle BDM</math>) auch auf der Projektion (DE) dieser geneigten Linie senkrecht stehen muß (<math>\sphericalangle ADE</math>). Daher bilden BD und DE den Neigungswinkel der beiden Ebenen ABM und ACM, was nichts anderes bedeutet, als daß dieser Neigungswinkel der beiden Dreikantflächen mit dem sphärischen Winkel <math>\varphi</math> gleich sein muß.
<math>\sphericalangle
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