Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 242c»
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Línea 108:
:wobei man das <math>\varepsilon_n</math> nach Anleitung obiger Formel dadurch gewinnt, daß man sämtlich n-Ecks-Winkel addiert und von ihnen <math>(n - 2) \cdot 180^\circ</math> subtrahiert. Es zeigt sich nun auch beim sphärischen n-Eck, daß der sphärische Exzeß nichts ist als der Unterschied in der Winkelsumme eines sphärischen und eines ebenen n-Ecks, welch letzteres, wie wir wissen, die Winkelsumme <math>(n - 2) \cdot 180^\circ</math> hat. Weiter aber ersieht man, daß auch beim sphärischen n-Eck der Exzeß mit dem Flächeninhalt direkt proportional ist, das heißt, daß er bei wachsendem Flächeninhalt auf ein und derselben Kugel wächst.
:Nun wollen wir dazu übergehen, für die sphärische Trigonometrie Formeln abzuleiten, die es entsprechend der ebenen Trigonometrie gestatten, aus gegebenen Winkeln und „Seiten“ gesuchte Winkel und „Seiten“ zu berechnen. Wie in der Ebene ist auch auf der Kugel das rechtwinklige Dreieck unser Ausgangsproblem. Nur wissen wir noch nicht recht, was man auf der Kugel als rechtwinkliges sphärisches Dreieck bezeichnen soll. Es gibt nämlich sphärische Dreiecke mit einem, mit
zwei und mit drei rechten Winkeln. Letzteres ist etwa der Kugel-Oktant, also ein Dreieck, das ein Achtel der Kugeloberfläche bedeckt. Demgemäß ist seine Fläche <math>4 r^2 \pi : 8 = \frac{r^2 \pi}{2} 4r2n :8= ll;-”</math> und ~ sein sphärischer Exzeß <math>(90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) - 180^\circ = 90^\circ</math>.
::<small>Daher ist die Summe der Winkel dieses sphärischen Dreiecks <math>180^\circ + 90^\circ = 270^\circ</math>, was zu beweisen war.</small>
:Nach unserer früheren Formel
:<math>I_{(ABC)} = r^2 \pi \frac{\varepsilon}{180^\circ}</math> erhalten wir
:<math>I_{(ABC)} = \frac{r^2 \pi}{2} = r^2 \pi \frac{90^\circ}{180^\circ} = r^2 \pi \cdot \frac{1}{2}</math>,
:was unsere Behauptung bestätigt. Was also ist auf der Kugel ein rechtwinkliges Dreieck? Wir verraten es ohne lange Umschweife: Ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck liegt dann vor, wenn mindestens einer der Winkel ein rechter ist. Hat das Dreieck außerdem noch einen zweiten oder dritten rechten Winkel, dann ändert dies nichts an seinen Eigenschaften, und. ich betrachte sodann die allfälligen anderen rechten Winkel als gewöhnliche Winkel. Wir verraten weiters vorgreifend, daß die Trigonometrie des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks sechs Grundgleichungen kennt, von denen wir jedoch nur die erste ableiten werden. Alle anderen Grundgleichungen und deren Varianten werden wir aus den sogenannten Napier'schen (oder Neper'schen) Regeln leicht und sicher gewinnen können. Sir John Napier (Neper), der auch als angeblicher Entdecker des natürlichen Logarithmus (daher „Nepersche Logarithmen“) berühmt wurde, war ein englischer Astronom und Mathematiker des XVI. Jahrhunderts. Die von uns angekündigte Ableitung stützt sich auf Sätze über das Dreikant und auf die Grundformeln der ebenen Trigonometrie, die uns schon geläufig sind.
:In unserem sphärischen .Dreieck ABC mit den „Seiten“ <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, und den Winkeln <math>\varphi</math>, <math>\chi</math>, <math>\psi</math>, ist der Winkel <math>\psi</math> der rechte Winkel und sonach die Seite <math>\gamma</math> die sphärische Hypotenuse. M ist der Mittelpunkt der Kugel. Wenn wir nun aus Punkt B auf die Dreikant-
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