Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 239c»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 44:
::f) Schließlich kann man eine Pyramide von unendlich großer Seitenanzahl als Kegel' bezeichnen. Jedenfalls gelten alle Pyramidensätze ebensogut auch für Kegel, die auch schief oder elliptisch sein dürfen.
:Der Fundamentalsatz für die Pyramide besagt, daß parallele Schnitte zur Grundfläche stets der Grundfläche ähnliche Polygone liefern müssen, was wir schon aus der projektiven Geometrie wissen. Außerdem verhalten sich die Grundfläche und eine ihr parallele Durchschnittsfläche stets so wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze, was man leicht aus planimetrischen Sätzen mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen kann.
:Um den Rauminhalt einer Pyramide zu messen, gehen wir vom Prisma aus. Und zwar vom dreiseitigen. <br style="clear:both;" />
:Wir behaupten, daß jedes dreiseitige Prisma stets in drei inhaltsgleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden kann. Wir betrachten zuerst die beiden Pyramiden ABCD und BCDE und verlegen ihre gemeinsame Spitze nach C. Dann haben die beiden Pyramiden die gleiche Grundfläche (ABD resp. BDE) und die gleiche Höhe, nämlich das Lot von C auf ABED. Sie sind somit nach dem Cavalierisatz inhaltsgleich, da sie sich nach dem soeben besprochenen Proportionssatz zwar nicht aus gleichbleibenden, dafür aber aus sich entsprechend verjüngenden Plättchen zusammensetzen. Denn bei jeder der beiden Pyramiden verhält sich die parallele Schnittfläche in der Höhe h' zur Grundfläche wie die Quadrate der Abstände vom Scheitel. Also Grundfläche zu Schnittfläche wie <math>h^2 : (h - h')^2</math>. Wenn aber <math>F : f = h^2 : (h - h')</math> und <math>F : f' = h^2 : (h - h')^2</math>, muß f gleich sein f', wobei wir die Schnittflächen in der Höhe h' mit f und f' bezeichnen. Nun können wir mit der gemeinsamen▼
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 358 picture cutout.jpg|thumb|200 px]]
▲:Wir behaupten, daß jedes dreiseitige Prisma stets in drei inhaltsgleiche dreiseitige Pyramiden zerlegt werden kann. Wir betrachten zuerst die beiden Pyramiden ABCD und BCDE und verlegen ihre gemeinsame Spitze nach C. Dann haben die beiden Pyramiden die gleiche Grundfläche (ABD resp. BDE) und die gleiche Höhe, nämlich das Lot von C auf ABED. Sie sind somit nach dem Cavalierisatz inhaltsgleich, da sie sich nach dem soeben besprochenen Proportionssatz zwar nicht aus gleichbleibenden, dafür aber aus sich entsprechend verjüngenden Plättchen zusammensetzen. Denn bei jeder der beiden Pyramiden verhält sich die parallele Schnittfläche in der Höhe h' zur Grundfläche wie die Quadrate der Abstände vom Scheitel. Also Grundfläche zu Schnittfläche wie <math>h^2 : (h - h')^2</math>. Wenn aber <math>F : f = h^2 : (h - h')</math> und <math>F : f' = h^2 : (h - h')^2</math>, muß f gleich sein f', wobei wir die Schnittflächen in der Höhe h' mit f und f' bezeichnen. Nun können wir mit der gemeinsamen Spitze D die beiden dreiseitigen Pyramiden BCDE und CDEF bilden, bei denen wieder die Grundflächen BCE und CEF gleich sind, während die Höhe das Lot von D auf BCFE ist. Da auch hier wieder der durch die Pyramiden-Proportion modifizierte Cavalieri gilt, so ist jetzt Pyramide BCDE inhaltsgleich der Pyramide CDEF, woraus endlich folgt, daß die Pyramiden ABCD, BCDE und CDEF, die zusammen das Prisma ausfüllen, einander inhaltsgleich sind.
:Da man nun etwa die Pyramide ABCD auch so betrachten kann, als ob sie ABC als Grundfläche und D als Spitze oder Scheitel hätte, folgt, daß sie mit dem Prisma die gleiche Grundfläche und Höhe haben muß. Da sie aber weiters der dritte Teil des Prismas ist und das Prisma als Inhalt <math>g \cdot h</math> hat, so ist der Inhalt der Pyramide <math>\frac{g \cdot h}{3}</math>. Da man aber weiters, wie wir wissen, jedes Polygon in ein Dreieck verwandeln kann, so kann man jedes n-Eck, das g bildet, in ein Dreieck verwandeln, wodurch, wieder nach Cavalieri, das neue dreiseitige Prisma gleich sein muß dem n-kantigen Prisma. Und wodurch schließlich auch die n-seitige Pyramide inhaltsgleich sein muß der neuen dreiseitigen, somit einem Drittel des Raumgehaltes des Prismas. Durch diese Verallgemeinerung dürfen wir jetzt auch den Kegel als den dritten Teil eines Zylinders gleicher Grundfläche und Höhe ansprechen und erhalten als Rauminhalt des Kreiskegels <math>\frac{r^2 \cdot \pi \cdot h}{3}</math> und als Inhalt des elliptischen Kegels <math>\frac{a \cdot b \cdot \pi \cdot h}{3}</math>.
:Weitere Formeln der Stereometrie führen wir nicht an, da sie in jeder Formelsammlung enthalten sind und außerdem aus unseren planimetrischen Sätzen stets leicht abgeleitet werden können. Es bedarf wohl keiner besonderen Erwähnung, daß auch die Trigonometrie in der Stereometrie eine gewaltige Rolle spielt. Ebenso die niedere und insbesondere die höhere Analysis. Erst durch die Integralrechnung wird man in den Stand gesetzt, allerlei krummflächig begrenzten räumlichen Gebilden, insbesondere den Rotationskörpern, die durch Umdrehung einer Kurve um eine Achse entstehen, an den Leib zu rücken. Der regelmäßigste dieser Umdrehungskörper ist die Kugel, die wir abgesondert behandeln werden, da wir vorerst noch die drei großen Konstruktionsprobleme der Geometrie betrachten wollen, die sehr viel zum Aufschwung der Geometrie beitrugen, da sie jeder Lösung mit gewöhnlichen Mitteln (also mit Zirkel und Lineal) trotzten.
| |||