Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 238c»

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:Allgemein kann man aus F Seitenflächen eine Anzahl von n verschiedenen Polyedern bilden, und zwar ist n für eine gerade Flächenanzahl F gleich <math display="inline">\frac{3F - 10}{2}</math> uns n' für eine ungerade Flächenanzahl F' gleich <math display="inline">\frac{3F' - 11}{2}</math> was man an obigen Beispielen nachprüfen kann.
:Ein weiteres Problem, an dessen Lösung wir nun herantreten können, ist die Frage nach dem Vorhandensein und der Anzahl sogenannter regelmäßiger Polyeder oder Vielflächner. Schon die Pythagoräer befaßten sich mit der Untersuchung dieser Polyeder, sie werden aber gleichwohl „Platonische Körper“ genannt, da sie auch von Platon und seinen Dialog-Gestalten (Theaitetos) geprüft wurden. Nebenbei bemerkt bestand im klassischen Altertum die Ansicht, daß die Atome jedes Elementes die Form eines der regelmäßigen Polyeder hätten.
:Was ist nun ein regelmäßiges Polyeder? Wohl ein Körper, dessen sämtliche Begrenzungsflächen regelmäßige, kongruente Polygone und dessen Ecken regelmäßig und kongruent sind. Da aber Ecken mindestens aus drei Flächen gebildet werden müssen, können wir sofort angeben, welche Polygone zur Bildung derartiger Körper überhaupt in Betracht kommen. Der Winkel <math>\alpha</math> eines regelmäßigen Polygons ist bekanntlich gleich <math display="inline">2 R - \frac{4R}{n}</math>, folglich wäre die Summe dreier solcher Winkel an einer Ecke <math display="inline">(2 R - \frac{4R}{n}) \cdot 3</math> oder <math display="inline">6 R - \frac{12R}{n}</math> oder <math display="inline">6 R \frac{n - 2}{n}</math>. Da aber weiters eine Ecke nur entstehen kann, wenn die „Seiten“-Summe kleiner ist als 360°, so ergibt sich, daß <math display="inline">\frac{n - 2}{n}</math> stets kleiner bleiben muß als <math display="inline">\frac{2}{3}</math>, wenn aus drei regelmäßigen Polygonen eine Ecke entstehen soll. Da aber n mindestens gleich 3 sein' muß, da das regelmäßige Dreieck das reguläre Polygon geringster Seitenanzahl ist, so erhalten wir, da n weiter ganzzahlig sein muß, für <math>n = 3</math>, <math>n = 4</math>, <math>n = 5</math>, <math>n = 6</math>, <math>n = 7</math> usw. die Werte <math display="inline">\frac{1}{3}</math>, <math display="inline">\frac{1}{2}</math>, <math display="inline">\frac{3}{5}</math>, <math display="inline">\frac{4}{6}</math>, <math display="inline">\frac{5}{7}</math> usw. für <math display="inline">\frac{n - 2}{n}</math>, von denen bereits <math display="inline">\frac{4}{6} = \frac{2}{3}</math> und <math display="inline">\frac{5}{7}</math> schon größer ist als Weitere Werte müßten aber nach der Form des Bruches <math display="inline">\frac{n - 2}{n}</math> noch größer sein. Daraus folgt, daß das reguläre Fünfeck die Figur höchster Seitenanzahl ist, die für die Bildung von Ecken und damit von regelmäßigen Vielflächnern überhaupt in Betracht kommt. Nun können Ecken aber auch aus mehr als drei Polygonen gebildet werden. Tatsächlich lassen sich noch Ecken aus 4 und 5 regulären Dreiecken bilden, da die „Seiten“-Summe <math>4 \cdot 60^\circ = 240^\circ</math> und <math>5 \cdot 60^\circ = 300^\circ</math> noch unter 360° liegen. <math>6 \cdot 60^\circ = 360^\circ</math>, kommt also nicht mehr in Betracht. Bei <math>n = 4</math>, also bei Quadraten, ist eine Ecke nur aus drei Quadraten (<math>90^\circ \cdot 3 = 270^\circ</math>) erhältlich. Vier Quadrate (<math>90^\circ \cdot 4 = 360^\circ</math>) würden schon eine Ebene bilden. Beim Fünfecke endlich, das bekanntlich als Winkel <math>\alpha = 108^\circ</math> besitzt, kommen auch nur drei Polygone zur Eckenbildung in Betracht (<math>3 \cdot 108^\circ = 324^\circ</math>). Vier reguläre Fünfecke Würden schon <math>4 \cdot 108^\circ = 432^\circ</math> erfordern, also der Bedingung „Seitensumme“ <math>< 360^\circ</math> widersprechen.
:Nun erinnern wir uns des Satzes von Euler und des zweiten Satzes <math>W = 2K</math>, wobei W die Anzahl aller Winkel der Flächen des Polyeders ist. Nehmen wir nun zuerst gleichseitige Dreiecke, so wissen wir schon daß <math>W = 3 F</math>. Wenn man weiters je drei solcher Dreiecke zu je einer Ecke verbindet, dann ist <math>W = 3 E</math>. Nun haben wir vier Gleichungen mit vier Unbekannten: <math>E + F = K + 2</math>, <math>W = 2 K</math>, <math>W = 3 F</math>, <math>W = 3 E</math>. Daraus erhält man <math>E = 4</math>, <math>F = 4</math>, <math>K = 6</math>, <math>W = 12</math>, also das regelmäßige Tetraeder.