Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 238c»

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Línea 29:
:Aus dem Eulerschen Satz folgt sofort <math>E = K - F + 2</math>, <math>K = E + F - 2</math> und <math>F = K - E + 2</math>. Aus diesem fundamentalen Satz, dessen an sich nicht schwierigen Beweis wir aus Gründen des Raummangels fortlassen, kann man allerlei Spezialaufgaben errechnen. Etwa das höchst interessante Problem, wieviel Ecken und Kanten entstehen müssen, wenn die Anzahl der Flächen gegeben ist. Aus dem Eulerschen Satz folgt direkt <math>K - E = = F - 2</math>, woraus schon hervorgeht, daß bei gegebenen F die Kanten und Ecken eine konstante Differenz bilden, die stets gleich <math>F - 2</math> ist. Nun ist weiters die Anzahl aller Winkel, die die Oberfläche eines Polyeders enthält, stets doppelt so groß als die Anzahl aller Kanten, was sich daraus ergibt, daß in jedem Polygon die Anzahl der Winkel gleich ist der Anzahl der Polygonseiten, diese Polygonseiten aber stets als Kanten zu je zwei Polygonen gehören müssen, weil ja sonst kein Polyeder entstände. Daher ist die Anzahl der Polygonseiten doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, die Anzahl der Kanten also halbmal so groß als die Anzahl der Winkel oder die Anzahl der Winkel (W) doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, was zu beweisen war. Wir haben somit <math>W = 2 K</math>. Da aber jede Seitenfläche mindestens 3 Winkel haben muß, so ist <math>W \geqq 3 F</math>, woraus in Verbindung mit <math>W = 2 K</math> folgt, daß <math display="inline">K \geqq \frac{3}{2} F</math>. Subtrahiert man hiervon <math>K - E = F - 2</math>, so erhält man <math display="inline">E \geqq \frac{1}{2} F + 2</math>. Wir haben jetzt also die Bedingungen, wie groß mindestens E und K bei gegebenem F sein muß. Dabei gelten die Beziehungen <math>W = 3 F</math> und <math display="inline">E = \frac{1}{2} F + 2</math> für Polyeder aus Dreiecken. Woraus man weiters ersieht, daß (wegen <math display="inline">E = \frac{1}{2} F + 2</math>) aus Dreiecken nur Polyeder gerader Flächenanzahl gebildet werden können, da die Eckenanzahl nie etwas anderes als eine ganze Zahl sein kann. Um die Obergrenze der Kanten- und Eckenanzahl bei gegebener Flächenanzahl zu finden, überlegen wir, daß jede Ecke wenigstens aus drei Winkeln bestehen muß. Also <math>W \geqq 3 E</math>, woraus in Verbindung mit <math>W = 2 K</math> folgt <math display="inline">K \geqq \frac{3}{2} E</math>. Wenn man weiters die letzte Ungleichung umformt auf <math>2 K - 3 E \geqq 0</math> und E dadurch eliminiert, daß man aus <math>K - E = F - 2</math> für den Wert <math>K - F + 2</math> setzt, so ergibt sich <math>2 K - 3 (K - F + 2) \geqq 0</math> oder <math>- K + 3 F - 6 \geqq 0</math> oder <math>K \leqq 3 F - 6</math>. Eliminiert man dagegen K, so erhält man <math>E \leqq 2 F - 4</math>. Die in diesen Ausdrücken enthaltenen Gleichungen <math>K = 3 F - 4</math> und <math>E = 2 F - 4</math> gelten für Polyeder aus lauter Dreiecken.
:Nun haben wir es in der Hand, zu bestimmen, was für Polyeder man aus einer gegebenen Anzahl von Flächen bilden kann. Aus vier Dreiecken etwa haben wir als Untergrenze <math>K = 6</math> und <math>E = 4</math> und als Obergrenze dieselben Werte. Folglich gibt es nur eine Art von Tetraeder. Für ein Pentaeder (Fünfflächner) wäre <math>F = 5</math>, daher <math>K - E = 3</math> und <math>K = 8</math>, <math>E = 5</math> oder <math>K = 9</math> und <math>E = 6</math>. Es gibt also zwei Arten von Pentaedern. Nur das zweite hat lauter dreiseitige Ecken. Keines von beiden besteht aber bloß aus Dreiecken. Für <math>F = 6</math> (Hexaeder) ist <math>K - E = 4</math> und <math>K = 9, E = 5</math>; oder <math>K = 10</math>, <math>E = 6</math>; oder <math>K= 11</math>, <math>E = 7</math>; oder <math>K = 12</math>, <math>E = 8</math>. Von diesen vier Hexaedern hat das erste lauter Dreiecke zu Seitenflächen und das letzte lauter dreiseitige Ecken.
:Allgemein kann man aus F Seitenflächen eine Anzahl von n verschiedenen Polyedern bilden, und zwar ist n für eine gerade Flächenanzahl F gleich <math>\frac{3F - 10}{2}</math> uns n' für eine ungerade Flächenanzahl F' gleich <math>\vracfrac{3F' - 11}{2}</math> was man an obigen Beispielen nachprüfen kann.
:Ein weiteres Problem, an dessen Lösung wir nun herantreten können, ist die Frage nach dem Vorhandensein und. der Anzahl sogenannter regelmäßiger Polyeder oder Vielflächner. Schon die Pythagoräer befaßten sich mit der Untersuchung dieser Polyeder, sie werden aber gleichwohl „Platonische Körper“ genannt, da sie auch von Platon und seinen Dialog-Gestalten (Theaitetos) geprüft wurden. Nebenbei bemerkt bestand im klassischen Altertum die Ansicht, daß die Atome jedes Elementes die Form eines der regelmäßigen Polyeder hätten.
:Was ist nun ein regelmäßiges Polyeder? Wohl ein Körper, dessen sämtliche Begrenzungsflächen regelmäßige, kongruente Polygone und dessen Ecken regelmäßig und kongruent sind. Da aber Ecken mindestens aus drei Flächen gebildet werden müssen, können wir sofort angeben, welche Polygone zur Bildung derartiger Körper überhaupt in Betracht kommen. Der Winkel <math>\alpha</math> eines regelmäßigen Polygons ist bekanntlich gleich <math>2 R - \frac{4R}{n}</math>, folglich wäre die Summe dreier solcher Winkel an einer Ecke <math>(2 R - \frac{4R}{n}) \cdot 3</math> oder <math>6 R - \frac{12R}{n}</math> oder <math>6 R \frac{n - 2}{n}</math>. Da aber weiters eine Ecke nur entstehen kann, wenn die „Seiten“-Summe kleiner ist als 360°, so ergibt sich, daß <math>\frac{n - 2}{n}</math> stets kleiner bleiben