Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 238c»
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:In solch einer körperlichen Ecke, die wir auch als Ecke A (BCDEFG) schreiben können, haben die einzelnen Bestandstücke vereinbarungsgemäß festgelegte Namen. So nennt man A den Scheitel oder die Spitze der Ecke die Geraden, in denen die unsere Ecke begrenzenden Ebenen einander durchschneiden, heißen die Kanten der Ecke oder schlechtweg Kanten, und die Winkel, die die Kanten in den Begrenzungsebenen miteinander bilden, also <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>, <math>\delta</math>, <math>\varepsilon</math>, <math>\zeta</math> heißen die „Seiten“ der Ecke.
::<small>Wir schreiben „Seite“ in dieser Bedeutung der Eindeutigkeit halber stets unter Anführungszeichen.</small>
:Schließlich nennt man die Neigungswinkel, unter denen bei den Kanten die einzelnen Ebenen zusammenstoßen, die Winkel der Ecke.
:Ein Blick auf unsere Figur und die von uns schon gelegentlich der projektiven Untersuchungen gemachten Bemerkungen lehren, daß man auf die körperlichen Ecken durch Schnittebenen viele Sätze der Planimetrie übertragen kann. Wir erwähnen dabei, daß man in der Stereometrie einspringende Kanten, also Neigungswinkel der Ebenen von mehr als 180°, gewöhnlich ausschließt. Man kann nämlich durch Erweiterungen der Ebenen stets Ecken erzeugen, die keine einspringenden Kanten besitzen.
:Wir stellen nun kurz die wichtigsten Sätze über körperliche Ecken zusammen:
:1. In jeder dreiseitigen Ecke ist die Summe je zweier „Seiten“ größer als die dritte.
:2. In jeder dreiseitigen Ecke ist die Differenz je zweier „Seiten“ kleiner als die dritte.
:3. Die Summe aller „Seiten“ einer Ecke ist immer kleiner als vier rechte Winkel (denn erreichte sie vier Rechte, so entstände aus der Ecke eine Ebene und aus den Kanten ein projektives Strahlenbüschel mit dem Zentrum A).
:4. Demgemäß liegt die Summe aller „Seiten“ einer Ecke zwischen 0 und 4 Rechten, wobei die Ecke bei der Seitensumme 0 zu einer Geraden, die durch den Punkt A geht, degenerieren würde.
:Aus diesen Sätzen kann man schon verschiedene Folgerungen ziehen. Wir hätten etwa zwei „Seiten“ eines Dreikants mit den Winkeln 115° und 80° gegeben und sollten abgrenzen, innerhalb welchen Zwischenraumes sich eine dritte „Seite“ , die wir x nennen, bewegen darf. Nach Satz 1 ist <math>115° + 80° > x </math>und nach Satz 2 ist <math>115° - 80° < x</math>, weshalb x zwischen 195° und 35° liegen müßte. Da aber weiters nach Satz 3 die Summe <math>115° + 80° + x < 360°</math> sein muß, bleibt als Obergrenze für x nur mehr 165°, so daß also x zwischen 35° und 165° betragen muß, damit eine dreiseitige Ecke wirklich zustande kommen kann.
:Wir verlassen jetzt aus gewissen Gründen für eine kurze Zeit die Sätze über körperliche Ecken und bringen einen der wichtigsten Lagesätze der ganzen Stereometrie, nämlich den Satz von Leonhard Euler über Polyeder. Unter einem Vielflächner oder Polyeder versteht man eine allseits geschlossene räumliche Figur, die von Flächen begrenzt wird, deren Schnittlinien wieder Kanten heißen. Die Flächen bzw. die Kanten stoßen in den Ecken des Polyeders zusammen. Wenn man nun die Anzahlen dieser Flächen, Kanten und Ecken mit F, K und E bezeichnet, so lautet der Eulersche Satz: <math>E + F = = K + 2</math> oder „Ecken plus Flächen ist gleich Kanten plus zwei“, was sich, in Worten ausgedrückt, gleichsam als Verslein leicht behalten läßt. Dabei müssen die Polyeder sogenannte „Eulersche Polyeder“ sein. Sie dürfen, heißt das, weder von ringförmigen Polygonen begrenzt sein, noch im Inneren Höhlungen aufweisen.
:Aus dem Eulerschen Satz folgt sofort <math>E = K - F + 2</math>, <math>K = E + F - 2</math> und <math>F = K - E + 2</math>. Aus diesem fundamentalen Satz, dessen an sich nicht schwierigen Beweis wir aus Gründen des Raummangels fortlassen, kann man allerlei Spezialaufgaben errechnen. Etwa das höchst interessante Problem, wieviel Ecken und Kanten entstehen müssen, wenn die Anzahl der Flächen gegeben ist. Aus dem Eulerschen Satz folgt direkt <math>K - E = = F - 2</math>, woraus schon hervorgeht, daß bei gegebenen F die Kanten und Ecken eine konstante Differenz bilden, die stets gleich <math>F - 2</math> ist. Nun ist weiters die Anzahl aller Winkel, die die Oberfläche eines Polyeders enthält, stets doppelt so groß als die Anzahl aller Kanten, was sich daraus ergibt, daß in jedem Polygon die Anzahl der Winkel gleich ist der Anzahl der Polygonseiten, diese Polygonseiten aber stets als Kanten zu je zwei Polygonen gehören müssen, weil ja sonst kein Polyeder entstände. Daher ist die Anzahl der Polygonseiten doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, die Anzahl der Kanten also halbmal so groß als die Anzahl der Winkel oder die Anzahl der Winkel (W) doppelt so groß als die Anzahl der Kanten, was zu beweisen war. Wir haben somit <math>W = 2 K</math>. Da aber jede Seitenfläche mindestens 3 Winkel haben muß, so ist <math>W \geqq 3 F</math>, woraus in Verbindung mit <math>W = 2 K</math> folgt, daß <math>K \geqq \frac{3}{2} F</math>. Subtrahiert man hiervon <math>K - E = F - 2</math>, so erhält man <math>E \geqq \frac{1}{2} F + 2</math>. Wir haben jetzt also die Bedingungen, wie groß mindestens E und K bei gegebenem F sein muß. Dabei gelten die Beziehungen <math>W = 3 F</math> und <math>E = \frac{1}{2} F + 2</math> für Polyeder aus Dreiecken. Woraus man weiters ersieht, daß (wegen <math>E = \frac{1}{2} F + 2</math>) aus Dreiecken nur Polyeder gerader Flächenanzahl gebildet werden können, da die Eckenanzahl nie etwas anderes als eine ganze Zahl sein kann. Um die Obergrenze der Kanten- und Eckenanzahl bei gegebener Flächenanzahl zu finden, überlegen wir, daß jede Ecke wenigstens aus drei Winkeln bestehen muß. Also <math>W \geqq 3 E</math>, woraus in Verbindung mit <math>W = 2 K</math> folgt <math>K \geqq \frac{3}{2} E</math>. Wenn man weiters die letzte Ungleichung umformt auf <math>2 K - 3 E \geqq 0</math> und E dadurch eliminiert, daß man aus <math>K - E = F - 2</math> für den Wert <math>K - F + 2</math> setzt, so ergibt sich <math>2 K - 3 (K - F + 2) \geqq 0</math> oder <math>- K + 3 F - 6 \geqq 0</math> oder <math>K \leqq 3 F - 6</math>. Eliminiert man dagegen K, so erhält man <math>E \leqq 2 F - 4</math>. Die in diesen Ausdrücken enthaltenen Gleichungen <math>K = 3 F - 4</math> und <math>E = 2 F - 4</math> gelten für Polyeder aus lauter Dreiecken.
:Nun haben wir es in der Hand, zu bestimmen, was für Polyeder man aus einer gegebenen Anzahl von Flächen bilden kann. Aus vier Dreiecken etwa haben wir als Untergrenze <math>K = 6</math> und <math>E = 4</math> und als Obergrenze dieselben Werte. Folglich gibt es nur eine Art von Tetraeder. Für ein Pentaeder (Fünfflächner) wäre <math>F = 5</math>, daher <math>K - E = 3</math> und <math>K = 8</math>, <math>E = 5</math> oder <math>K = 9</math> und <math>E = 6</math>. Es gibt also zwei Arten von Pentaedern. Nur
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