Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 229c»
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Línea 54:
:::<math>tg = q_1 : p_1 = q_1 : 1 = q_1</math>
:::<math>cot = p_p : q_2 = p_2 : 1 = p_2</math>
:Nun scheint es auf den ersten Blick, als ob die „wirkliche Länge“, des Sinus mit der des Tangens und die des Cosinus mit der des Cotangens identisch wäre. Dies ist aber nicht so. Denn wenn die Eins in allen vier Fällen das Gleiche bedeuten soll, dann kann nicht <math>r = p = q</math> sein. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 274 picture cutout.jpg|thumb|500 px]] :Die p und q bei Tangens und Cotangens sind als Katheten natürlich andere Größen als bei Sinus und Cosinus, das heißt, sie gehören einem anderen rechtwinkligen Dreieck an, das dem ersten zwar ähnlich, nicht aber mit ihm kongruent ist. Denn das erste Dreieck hat die Hypotenuse <math>r = 1</math>, während das andere beim Tangens die Hypotenuse <math>r_1 = \sqrt{q_1^2 + 1}</math> oder <math>r_1 = \sqrt{q_1^2 + r^2}</math> hat. Wir werden diese Verhältnisse nunmehr der besseren Übersicht halber zeichnerisch festlegen, wobei wir aus den entstehenden rechtwinkligen Dreiecken sofort nach dem pythagoräischen Lehrsatz das Material zur Anlegung einer neuen Tabelle gewinnen werden. :Wenn wir nun unsere Dreiecke gesondert zeichnen und die Seiten sogleich mit den „wirklichen Längen“ der Winkelfunktionen, bzw. mit 1 oder einem aus dem Lehrsatz des Pythagoras gewonnenen Wert beschreiben, dann wird es uns möglich, jede Winkelfunktion durch eine beliebige andere auszudrücken. Den Lehrsatz des Pythagoras darf ich aber deshalb ruhig anwenden, weil ich ja nur mehr „wirkliche Längen“, also Strecken (oder Winkel, im Streckenmaß ausgedrückt) vor mir habe, sonach alle Sätze über Streckenverhältnisse benützen kann. <br style="clear:both;" />
:Aus den vorstehenden Dreiecken kann man jede Funktion durch jede andere ersetzen, indem man einfach das betreffende Seitenverhältnis von einem der Dreiecke mit den danebenstehenden Werten abliest. Es gilt demnach die Tabelle etwas weiter unten.
:In ähnlicher Art könnte man noch andere goniometrische Beziehungen finden, etwa den Satz, daß <math>sind^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha = 1</math>, was man aus einer Verschmelzung der beiden ersten Dreiecke mit Hilfe des „Pythagoras“ errechnen kann. Aus eben dieser verschmolzenen Figur könnte man weiter ablesen, daß Sinus durch Cosinus stets der Tangens desselben Winkels und Cosinus durch Sinus stets sein Cotangens ist. Dies könnte ich nebenbei auch_dadurch aus der Tabelle berechnen, daß ich einfach <math>sin \ \alpha</math> und <math>cos \ \alpha</math> durch <math>tg \ \alpha</math> ausdrücke und durcheinander dividiere usw. Unsere bisherigen Kenntnisse
▲[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 274 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
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