Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 229c»

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:So muß z.&nbsp;B. ein rechtwinkliges Dreieck, dessen einer Winkel a ist, als anderen spitzen Winkel <math>(90^\circ - \alpha)</math> haben. Wenn ich also nach einer Funktion für <math>(90^\circ - \alpha)</math> frage, habe ich sofort wieder ein Dreieck vor mir, das als zweiten spitzen Winkel <math>\alpha</math> hat. Wenn in beiden aber noch die Hypotenuse (Vektor) gleich ist, dann sind sie unbedingt einander kongruent und nur lagemäßig gegeneinander versetzt, so daß aus dem Lot die Projektion und aus der Projektion das Lot wird. Dadurch aber verwandelt sich etwa der Sinus in den Cosinus usw.
:Um in diese ganzen Beziehungen, die weniger schwierig als vielfältig sind, näheren Einblick zu gewinnen, möge der Leser versuchen, einige der Beziehungen in unserer Tabelle selbst abzuleiten, wobei stets auf das Vorzeichen zu achten ist, das Lot und Projektion haben. Wären beide negativ, dann ist die Winkelfunktion natürlich positiv, da sie nichts ist als ein Bruch oder Quotient. Nun wissen wir zwar schon allerlei, sind aber im Grunde nicht viel weiter als zu Beginn. Denn wir würden uns, um wirklich rechnen zu können, eine Tafel wünschen, die uns für jeden beliebigen Winkel sofort den Wert der Winkelfunktionen bietet. Nun, es gibt solche Tafeln, nur enthalten sie nicht unmittelbar den Wert der Winkelfunktionen, sondern deren Logarithmen. Und zwar kann man aus solchen Tafeln, sogenannten logarithmisch-trigonometrischen Tafeln; die Logarithmen, der Winkelfunktionen bis auf Winkelsekunden genau entnehmen. Natürlich kann man nun zu den Logarithmen jeweils den „Numerus“ suchen und hat damit den Wert der Winkelfunktion selbst. Wir können allerdings leider diese arithmetischen Einzelheiten hier nicht besprechen, sondern müssen auf die Erläuterungen in guten Logarithmenbüchern bzw. auf Lehrbücher verweisen, in denen Wesen und Gebrauch der Logarithmen vorgetragen wird.
:<small>In manchen Logarithmen-Tafeln sind auch die „Numeruswerte“ oder „wirklichen Längen“ der Winkelfunktionen enthalten, allerdings gewöhnlich nicht so ausführlich wie ihre Logarithmen.</small>
:Damit wir aber einen Begriff davon erhalten, wie man einen Winkel zahlenmäßig gleichsam in eine Strecke oder in die „wirkliche Länge“ des Winkels verwandelt, machen wir einen sehr fruchtbaren Kunstgriff, der uns zugleich noch eine ganze Reihe neuer Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen mit Hilfe des „Pythagoras“ erschließen wird. Es ist das der Kunstgriff des sogenannten „Einheitskreises“. Da wir nämlich nirgends bisher verlangt haben, daß die einzelnen Strecken (Lot, Projektion, Vektor) eine bestimmte Größe oder Länge haben müßten, dürfen sie natürlich auch die Länge 1 (eins) besitzen. Nun sind die Winkelfunktionen Brüche. Und es wird für uns daher von besonderem Vorteil sein, die Division zu vermeiden. Dies geschieht aber dann, wenn der Bruchnenner stets 1 ist. Wir werden also unsere Funktionen, die wir festgelegt haben, so in den „Einheitskreis“ einbauen, daß der Nenner als die Eins erscheint. Also werden wir beim Sinus den Vektor, beim Cosinus ebenfalls den Vektor, beim Tangens die Projektion und beim Cotangens das Lot als eins bezeichnen. Dann ergibt sich
:::<math>sin = q : r = q : 1 = q</math>
:::<math>cos = p : r = p : 1 = p</math>
:::<math>tg = q_1 : p_1 = q_1 : 1 = q_1</math>
:::<math>cot = p_p : q_2 = p_2 : 1 = p_2</math>
:Nun scheint es auf den ersten Blick, als ob die „wirkliche Länge“, des Sinus mit der des Tangens und die des Cosinus mit der des Cotangens identisch wäre. Dies ist aber nicht so. Denn wenn die Eins in allen vier Fällen das Gleiche bedeuten soll, dann kann nicht <math>r = p = q</math> sein. Die p und q bei Tangens und Cotangens sind als Katheten natürlich andere Größen als bei Sinus und Cosinus, das heißt, sie gehören einem anderen rechtwinkligen Dreieck an, das dem ersten zwar ähnlich, nicht aber mit ihm kongruent ist. Denn das erste Dreieck hat die Hypotenuse <math>r = 1</math>, während das andere beim Tangens die Hypotenuse <math>r_1 = \sqrt{q_1^2 + 1}</math> oder <math>r_1 = \sqrt{q_1^2 + r^2}</math> hat. Wir werden diese Verhältnisse nunmehr der besseren Übersicht halber zeichnerisch festlegen, wobei wir aus den
 
 
 
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[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 274 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]