Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 229c»

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:Der Winkel al hat die Projektion <math>p_1</math> und das Lot <math>q_1</math>, der Winkel <math>\alpha</math> die Projektion <math>p_2</math> und das Lot <math>q_2</math> usw. Liegt der bewegliche Schenkel, den wir <math>r</math> nennen wollen, in der Basis b, dann ist der Winkel <math>a_0 = 0</math> Grade, die Projektion <math>p_0 = r</math> und das Lot <math>q_0 = 0</math>. Ebenso würden bei 180 Graden Drehung das Lot verschwinden und die Projektion gleich r werden. Bei 0 Graden verschwindet die Projektion und das Lot wird gleich r.
:Wir sehen also, daß für jede Größe des Winkels sich die Beziehungen zwischen q, r und p irgendwie ändern müssen. Wenn etwa das Lot wächst, verkleinert sich bei konstantem r die Projektion und umgekehrt. Es liegt somit nahe, jedem Winkel zur Bestimmung oder Festlegung seiner Größe Verhältnisse von Dreieckseiten zuzuordnen, da, wie man in der Mathematik sagt, dieses Seitenverhältnis eine „Funktion“ des Winkels oder der Winkel eine „Funktion“ des Seitenverhältnisses ist. Nähere Ausführungen über den Begriff der Funktion müssen wir uns an dieser Stelle versagen. Wir verweisen hiezu auf unser Buch „[[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 064c|Mathematik von A bis Z]]“ und erläutern nur kurz, daß man unter Funktion eine Beziehung versteht, bei der sich durch willkürliche Änderung der einen Größe eine andere Größe zwangsläufig ändert. Und zwar nach einem bestimmten Gesetz, das für den ganzen „Bereich“ der Funktion dasselbe ist. Wir sehen aus unserer Zeichnung sofort solche Gesetzmäßigkeiten. Etwa wird im Bereiche O bis 90 Grade bei willkürlicher Vergrößerung des Winkels das Lot stets zwangsläufig größer und die Projektion kleiner, während der „Vektor“, das heißt der wandernde Schenkel, gleich bleibt.
:Wir haben es aber weiters in der Hand, für jeden Winkel aus den drei Seiten des zugeordneten Dreiecks (mit den Seiten: Projektion, Lot und Vektor) sechs Verhältnisse zu bilden, da aus drei „Elementen“ nach den Lehren der Kombinatorik sechs Variationsamben möglich sind. Zur Aufstellung dieser Verhältnisse, die auch Winkelfunktionen, goniometrische Funktionen, trigonometrische Funktionen oder trigonometrische Zahlen genannt werden, verlassen wir die Ausdrucksweise Projektion, Vektor und Lot und sprechen lieber von Hypote-Hypotenuse (Vektor), Gegenkathete (Lot) und Ankathete (Projektion). Wir bezeichnen als
:::<math>\text{Sinus \alpha = sin \alpha = q : r<\math> (Gegenkath. zur Hyp.)
:::<math>\text{Cosinus \alpha = cos \alpha = p : r<\math> (Ankath. zur Hyp.)
:::<math>\text{Tangens \alpha = tg a = q : p<\math> (Gegenkath. zur Ankath.)
:::<math>\text{Cotangens \alpha = cot \alpha = p : q<\math> (Ankath. zur Gegenkath.)
:::<math>\text{Secans \alpha = sec \alpha = r : p<\math> (Hyp. zur Ankath.)
:::<math>\text{Cosecans \alpha = cosec \alpha = r : q<\math> (Hyp. zur Gegenkath.)
<small>„Hyp.“ bedeutet Hypotenuse, „Ankath.“ die dem Winkel <math>\alpha</math> anliegende, „Gegenkath.“ die dem Winkel <math>\alpha</math> gegenüberliegende Kathete.</small>
:In der Praxis werden kaum je andere als die vier ersten Funktionen benützt. Und wir beschränken uns auch im Folgenden auf diese vier Funktionen. Nun ersieht man schon aus unserer Zeichnung, daß bei Drehung des Winkels a über 90 Grade hinaus, stets wieder gleiche Beziehungen periodisch wiederkehren müssen. Man nennt diese Erscheinung das „Verhalten der Winkelfunktionen in den verschiedenen Quadranten“, worunter man die Bereiche 0° bis 90°, 90° bis 180°, 180° bis 270° und 270° bis 360° versteht. Würde sich der Winkel noch weiter, das heißt über 360° öffnen, so überdeckt er sich und es ist dasselbe, wie wenn ich die 360° überhaupt fortlasse. Jede Funktion von <math>(\alpha + 360^\circ)</math> ist also gleich der Funktion von <math>\alpha</math> Graden. Wenn wir weiter festsetzen, daß die Projektionen vom Scheitel nach rechts positiv und die Lote nach oben positiv genommen werden sollen, während Projektionen nach links und Lote nach unten als negativ gelten; und wenn man schließlich den Vektor als vorzeichenlos (oder stets als positiv) betrachtet, dann gelangen wir zu folgender höchst wichtigen Beziehungstabelle, mittels derer wir schon ein riesenhaftes Gebiet goniometrischer Funktionen beherrschen (s.&nbsp;u.). Die in der Tabelle aufgezählten Gleichheiten gewinnt man aus Dreieckskongruenzen und zwar auf Grund des WSW-Satzes oder des WWS-Satzes, die ja beide im rechtwinkligen Dreieck dasselbe bedeuten. Die kon-