Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 229c»
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:'''Winkelfunktionen'''
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:Wir haben bisher absichtlich über die Beziehungen zwischen den Seiten eines Dreiecks und seinen Winkeln nicht viel gesprochen, da die Lehre von diesen Beziehungen ein geschlossenes Reich der Geometrie, nämlich die sogenannte Trigonometrie, bildet. Unter Trigonometrie versteht man einen Teil der Geometrie, der es sich zur Aufgabe setzt, aus gegebenen Stücken eines Dreiecks nichtgegebene Stücke im Wege der Rechnung entweder in allgemeinen oder konkreten Zahlen zu bestimmen. Vorstufe dieser „Dreieckausmessung“ (Tri = = drei, Gonü = Winkel, metron = Maß) ist die sogenannte Goniometrie oder Winkelmessungslehre. Die beiden Wissensgebiete werden aber nicht streng auseinandergehalten und das Wort Trigonometrie wird gewöhnlich für beide gebraucht. Wir werden also auch nicht so strenge scheiden, sondern alle unsere Untersuchungen als „trigonometrische“ bezeichnen.
:Zuerst ein allgemeiner Dreiecksatz: Wir behaupten, daß von zwei Seiten eines Dreiecks stets die größere Seite dem größeren Winkel und die kleinere Seite dem kleineren Winkel gegenüberliege. Beim rechtwinkligen Dreieck haben wir diese Tatsache schon festgestellt. Denn der größte Winkel in einem solchen Dreieck ist ja stets der rechte Winkel und diesem liegt stets die Hypotenuse, also die größte Seite gegenüber. Wir könnten diesen Spezialfall auch aus dem Winkel im Halbkreis streng beweisen. Denn dem rechten Winkel liegt dort der Durchmesser, also die längstmögliche Sehne gegenüber, während den beiden anderen Winkeln Sehnen gegenüberliegen, die als Nicht-Durchmesser unbedingt kürzer sein müssen. Da wir aber Spezialfall-Beweise nicht gelten lassen, bringen wir den strengen Beweis für den allgemeinen Fall. <br style="clear:both;" />
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 268 picture cutout.jpg|thumb|400 px]]
:Zu diesem Zweck tragen wir im Dreieck ABC, in dem <math>AC > BC</math> ist, die Seite BC von C an auf CA ab und erhalten dadurch den Punkt D und damit das gleichschenklige Dreieck BCD, in dem Winkel <math>\delta</math> gleich sein muß Winkel <math>\delta '</math>. Der Winkel <math>\delta</math> ist aber ersichtlich nur ein Teil des Winkels <math>\beta</math>. Da aber weiters <math>\delta '</math> als Außenwinkel des Dreiecks ABD gleich ist dem Winkel <math>\alpha</math> plus dem Winkel <math>\varepsilon</math>, so muß, da Winkel <math>\beta ></math> Winkel <math>\delta</math> (oder <math>\delta '</math>) und Winkel <math>\delta ></math> Winkel <math>\alpha</math>, nach dem „Prinzip der Transitivität“ natürlich auch <math>\sphericalangle \beta > \sphericalangle \alpha</math>,
:was zu beweisen war.
:Durch Wiederholung dieses Schlusses für andere Seitenpaare kommen wir dazu, die Behauptung aufzustellen, daß sich in Bezug auf Größer- und Kleinersein die drei Seiten eines Dreiecks entsprechend den Winkeln verhalten: Der größten Seite liegt der größte, der kleinsten Seite der kleinste und der „mittelgroßen“ Seite der „mittelgroße“ Winkel gegenüber. Nun ist diese Beziehung vorläufig noch keine Maßbeziehung. Denn beim „Pythagoras“ etwa liegt dem rechten Winkel nicht eine Seite gegenüber,die entsprechend der übrigbleibenden
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