Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 225c»
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:Im gewöhnlichen oder unregelmäßigen Trapez kann man durch Ziehen der „Mittellinie“, d. h. der Verbindungslinie der Halbierungspunkte E und F der beiden nichtparallelen Seiten und durch gleichzeitige Abtragung einer zu BC parallelen Hilfsstrecke A<sub>1</sub>D<sub>1</sub> durch E das Trapez wegen Kongruenz der beiden Dreiecke AA<sub>1</sub>E und EDD<sub>1</sub> in ein flächengleiches Parallelogramm verwandeln, was wir später benützen werden. Das sogenannte regelmäßige oder gleichschenklige Trapez, bei dem A'D' und B'C' einander gleich sind, da ja die Winkel bei A' und B' kongruent sind und die zwei Lote D'A'<sub>1</sub> und C'B'<sub>1</sub> als Parallele zwischen Parallelen ebenfalls kongruent sein müssen, also Kongruenz der Dreiecke A'A'<sub>1</sub>D' und B'B'<sub>1</sub>C' vorliegt, hat als bemerkenswerte Eigenschaft die Gleichheit der Diagonalen, was wieder aus der Kongruenz der Dreiecke A'B'C' und A'B'D' nach dem SWS-Satz folgt <math>(\sphericalangle A'B'C' \equiv \sphericalangle B'A'D'; A'B' \equiv A'B'; A'D' \equiv B'C')</math>. Das gleichschenklige Trapez ist eine symmetrische Figur, deren Symmetrieachse durch den Schnittpunkt der Diagonalen und durch die Halbierungspunkte der Parallelen geht. Es ist inhaltsgleich einem Rechteck aus der kleineren Seite und der Höhe h plus einem Rechteck aus der halben Differenz der zwei Parallelseiten und der Höhe h, was sich aus der Kongruenz von Dreieck A'D'E mit Dreieck B'<sub>1</sub>B'C' ergibt. Das gleichschenklige Trapez kann ein Kreisviereck sein, muß es aber nicht sein, während das ungleichschenklige Trapez sicherlich niemals ein Kreisviereck ist. <br style="clear:both;" />
:3. Es kann weiters eintreten, daß je zwei Seiten in einem Viereck einander parallel sind. Wir sprechen dann vom sogenannten Parallelogramm, dessen allgemeinster Fall das ungleichseitige, schiefwinklige Parallelogramm ist.▼
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▲:3. Es kann weiters eintreten, daß je zwei Seiten in einem Viereck einander parallel sind. Wir sprechen dann vom sogenannten Parallelogramm, dessen allgemeinster Fall das ungleichseitige, schiefwinklige Parallelogramm ist.
:Seine hervorstechendste Eigenschaft ist die paarweise Gleichheit der Gegenseiten AB und CD bzw. AD und BC, die man nach dem Satze, daß Parallele zwischen Parallelen einander gleich sind, beweisen kann; ein Satz, der sich wieder auf die Kongruenz von Dreieck ABC und Dreieck ACD stützt. Diese aber folgt weiter aus dem WSW-Satz da AC eine Transversale von beiden Parallelenpaaren ist, folglich die Wechselwinkel <math>\alpha</math> und <math>\alpha '</math> bzw. <math>\beta</math> und <math>\beta '</math> kongruent sein müssen. Weiters halbieren einander die Diagonalen in jedem Parallelogramm. Denn Dreieck ADE ist kongruent Dreieck BCE (nach dem WSW-Satz, da <math>\beta \equiv \beta '</math>, <math>\gamma \equiv \gamma'</math> und <math>AD \equiv BC</math>). Daher sind die homologen Seiten AE und EC bzw. DE und EB einander gleich, was auf gegenseitige Halbierung der Diagonalen hinausläuft
:und zu beweisen war.
:Außerdem ist jedes schiefwinklige Parallelogramm flächengleich mit einem rechtwinkligen mit derselben Grundlinie und Höhe, was aus Kongruenz von Dreieck BCC' mit Dreieck ADD' folgt (SWS-Satz; <math>h \equiv h</math>, <math>AD \equiv BC</math>, <math>\sphericalangle CBC' \equiv \sphericalangle D'AD</math> als Parallelwinkel).
:Schließlich sind in jedem schiefwinkligen Parallelogramm je zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß, was ohne weiters aus den Transversalensätzen folgt. Diese Beziehungen sind sämtlich umkehrbar. Daraus ergibt sich sofort ein interessanter Übergang zum Rechteck. Es genügt nämlich in einem Parallelogramm, daß ein einziger Winkel ein rechter ist, um das Parallelogramm zum Rechteck zu machen. Denn dann muß ja auch der gegenüberliegende Winkel ein rechter sein, dann ist aber die halbe Winkelsumme des Vierecks, nämlich 180° verbraucht. Die anderen zwei Winkel müssen also auch zusammen 180° aber überdies einander gleich sein. Woraus folgt, daß jeder dieser Winkel ein rechter ist, was zu beweisen war. Natürlich
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