Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»
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:Wir sind der Anleitung gefolgt und die Strecke CD oder x müßte die gesuchte Wurzel aus 7 sein. Zum Beweis behaupten wir zuerst, daß die beiden Dreiecke ADC und DBC einander ähnlich sind. Jedenfalls sind beide Winkel bei D rechte Winkel, da wir ja eine Senkrechte gezogen haben. Der Winkel <math>\alpha</math> ist aber auch mit <math>\alpha '</math> gleich, da ihre Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen <math>(AC \perp CB, AD \perp CD)</math>. Diese Beziehung besteht aber nur dann, wenn der Winkel im Halbkreise ein rechter ist. Dadurch jedoch sind wieder die dritten Winkel der beiden erwähnten Dreiecke einander ebenfalls gleich. Deshalb aber müssen sich, da wir die Ähnlichkeit nach dem WWW-Satz festgestellt haben, auch die Verhältnisse homologer Seiten der beiden Dreiecke zu einer richtigen Proportion verbinden lassen. Also etwa <math>AD : x = x : DB</math>. Wenn wir nun weiters statt der Strecken die diese Strecken repräsentierenden Zahlenwerte nehmen, erhalten wir <math>7 : x = x : 1</math> oder <math>X^2 = 7</math>. Folglich ist <math>x = \sqrt{7}</math>,
:was zu beweisen war.
:Natürlich ist dieser Wurzelwert in denselben Einheiten zu messen, die wir zur Streckenteilung verwendet haben. Der Trick dieser wunderbaren Lösung liegt darin, daß wir erstens als Wurzel die sogenannte „mittlere geometrische Proportionale“ des rechtwinkligen Dreiecks ABC verwendeten, die nichts anderes ist als die einzige Höhe, die sich in diesem sowie in jedem anderen rechtwinkligen Dreieck ziehen läßt. Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse eines solchen Dreiecks, während man die Proportionale etwa mit h und die beiden Hypotenusenabschnitte mit p und r bezeichnet, dann gilt stets <math>a : h = h : b</math>, also <math>h^2 = a \cdot b</math> und <math>h = \sqrt{a \cdot b}</math>, oder <math>p : h = h : r</math>, also <math>h^2 = p \cdot r</math> und <math>h = \sqrt{p \cdot r}</math>. Übrigens lassen sich noch weitere Proportionen bilden, da ja jedes der Teildreiecke dem ganzen Dreieck ähnlich ist. Nun finden wir aber vorläufig nicht Wurzeln aus Strecken, sondern nur solche aus Streckenprodukten. Wir könnten allerdings mittels des Maß-Pascal diese Produkte als Strecken gewinnen, davon aber hätten wir nichts. Denn wir wollen die zu radizierende Strecke vorher angeben u und nicht erst nachträglich errechnen. Nun macht Leonardo den zweiten Trick, den man sich genau ansehen möge, und der im tiefsten Grund auch der Streckenrechnung mittels des Maß-Pascals unterlegt ist: Er setzt nämlich die eine der zu multiplizierenden Strecken gleich eins und behält damit den unveränderten Wert der zweiten Strecke. Diesen Trick werden wir uns gut merken. Überall dort, wo ich multiplizieren oder dividieren muß und trotzdem nur das eine Glied dieser Rechnung behalten will, setze ich entweder einen der Faktoren oder den Divisor (Nenner) gleich eins. Ich könnte auch den Dividenden (Zähler) gleich eins setzen, erhielte aber dadurch den Kehrwert der von mir erstrebten Größe.
:Nun wollen wir noch auf etwas anderes aufmerksam machen, das uns schon oft begegnet ist. Bei Aufgaben über den Kreis soll man peinlichst alle in der betreffenden Figur vorkommenden Radien sofort mit r bezeichnen. Denn die Lösung der meisten Aufgaben benützt diese Gleichheit der Halbmesser und die sich daraus leicht ergebenden Sätze über das gleichschenklige Dreieck, wie die Gleichheit der Basiswinkel dieses Dreiecks, die Symmetrieeigenschaften von dessen Höhe▼
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▲:Nun wollen wir noch auf etwas anderes aufmerksam machen, das uns schon oft begegnet ist. Bei Aufgaben über den Kreis soll man peinlichst alle in der betreffenden Figur vorkommenden Radien sofort mit r bezeichnen. Denn die Lösung der meisten Aufgaben benützt diese Gleichheit der Halbmesser und die sich daraus leicht ergebenden Sätze über das gleichschenklige Dreieck, wie die Gleichheit der Basiswinkel dieses Dreiecks, die Symmetrieeigenschaften von dessen Höhe usw. Die „Verhältnisse“ innerhalb des Kreises werden dadurch ungeheuer einfach, wie wir gleich sehen werden. Wir wollen etwa einen von uns schon früher benützten Satz beweisen, daß die Kreisbögen zwischen Parallelen gleich sein müssen. Dazu verwenden wir den Fundamentalsatz der Kreismessung und der Winkelmessung, daß zu gleichen Zentriwinkeln gleiche Bogen gehören müssen und umgekehrt, vorausgesetzt, daß es sich für beide Fälle um denselben Kreis handelt.
:Wenn unsere beiden Parallelen g und g<sup>1</sup> den Kreis schneiden und wir von den Schnittpunkten A, B, C, D vier Halbmesser zum Mittelpunkt ziehen, dann erhalten wir zwei gleichschenklige Dreiecke AOD und BOC. Daher ist <math>\sphericalangle \alpha \equiv \sphericalangle \beta</math> und diesen beiden als Wechselwinkel <math>\equiv \sphericalangle \gamma</math> und <math>\sphericalangle \delta</math>. Dann sind weiters als deren Nebenwinkel gleich die Winkel <math>\varepsilon</math> und <math>\sigma</math>. Und diesen wieder als Scheitelwinkel die Winkel <math>\eta</math> und <math>\kapa</math>. Da aber weiters die Winkel <math>\eta</math>und <math>\eta</math> als Basiswinkel gleich sind, sind auch die Zentriwinkel der Bogen AB und CD, nämlich <math>\sphericalangle \lambda</math> und <math>\sphericalangle \ny</math> gleich. Aus dieser Gleichheit aber folgt die Gleichheit der Bogen AB und CD,
:die zu beweisen war.
:</small>Falls der Mittelpunkt des Kreises innerhalb von g und g<sub>1</sub> liegt, ist der Beweis mit einer Hilfsparallelen durch O leicht zu führen.</small>
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