Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»
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:Dieser rechte Winkel im Halbkreis spielt nicht nur für geometrische Konstruktionen und Beweise eine, ganz besondere Rolle, sondern kann auch zur konstruktiven Darstellung von Quadratwurzeln benützt werden. Wir werden die ingeniöse Art, in der ein Leonardo da Vinci mit Hilfe dieser Eigenschaft des Halbkreiswinkels Wurzeln zog, sogleich demonstrieren. Er verlangt nichts anderes, als daß man die Zahl, aus der die Wurzel zu ziehen ist, sagen wir etwa 7, in gleichen Strecken beliebiger Länge auf eine Gerade auftrage, hierauf die Einheit anfüge, über diese um eins vergrößerte Zahlenstrecke einen Halbkreis errichte und hierauf schließlich vom Endpunkt der Maßstrecke (Strecke 7) eine Senkrechte bis zum Kreisumfang ziehe. Wo diese Senkrechte den Kreis schneidet, ist der Endpunkt der „Wurzelstrecke“. Ihr' Anfangspunkt liegt in unserer Geraden, die ja nichts ist als ein Durchmesser des Kreises. Folgen wir also zuerst der Anleitung und versuchen wir dann den Beweis.
:Wir sind der Anleitung gefolgt und die Strecke CD oder x müßte die gesuchte Wurzel aus 7 sein. Zum Beweis behaupten wir zuerst, daß die beiden Dreiecke ADC und DBC einander ähnlich sind. Jedenfalls sind beide Winkel bei D rechte Winkel, da wir ja eine Senkrechte gezogen haben. Der Winkel <math>\alpha</math> ist aber auch mit <math>\alpha '</math> gleich, da ihre Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen <math>(AC \perp CB, AD \perp CD)</math>. Diese Beziehung besteht aber nur dann, wenn der Winkel im Halbkreise ein rechter ist. Dadurch jedoch sind wieder die dritten Winkel der beiden erwähnten Dreiecke einander ebenfalls gleich. Deshalb aber müssen sich, da wir die Ähnlichkeit nach dem WWW-Satz festgestellt haben, auch die Verhältnisse homologer Seiten der beiden Dreiecke zu einer richtigen Proportion verbinden lassen. Also etwa <math>AD : x = x : DB</math>. Wenn wir nun weiters statt der Strecken die diese Strecken repräsentierenden Zahlenwerte nehmen, erhalten wir <math>7 : x = x : 1</math> oder <math>X^2 = 7</math>. Folglich ist <math>x = \sqrt{7}</math>,
:was zu beweisen war.
:Natürlich ist dieser Wurzelwert in denselben Einheiten zu messen, die wir zur Streckenteilung verwendet haben. Der Trick dieser wunderbaren Lösung liegt darin, daß wir erstens als Wurzel die sogenannte „mittlere geometrische Proportionale“ des rechtwinkligen Dreiecks ABC verwendeten, die nichts anderes ist als die einzige Höhe, die sich in diesem sowie in jedem anderen rechtwinkligen Dreieck ziehen läßt. Sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse eines solchen Dreiecks, während man die Proportionale etwa mit h und die beiden Hypotenusenabschnitte mit p und r bezeichnet, dann gilt stets <math>a : h = h : b</math>, also <math>h^2 = a \cdot b</math> und <math>h = \sqrt{a \cdot b}</math>, oder <math>p : h = h : r</math>, also <math>h^2 = p \cdot r</math> und <math>h = \sqrt{p \cdot r}</math>. Übrigens lassen sich noch weitere Proportionen bilden, da ja jedes der Teildreiecke dem ganzen Dreieck ähnlich ist. Nun finden wir aber vorläufig nicht Wurzeln aus Strecken, sondern nur solche aus Streckenprodukten. Wir könnten allerdings mittels des Maß-Pascal diese Produkte als Strecken gewinnen,
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