Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»

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:Wir werden jetzt, im Zusammenhang mit unseren beiden Tangenten, eine für zahlreiche Aufgaben über den Kreis grundlegend wichtige harmonische Eigenschaft des Kreises aufzeigen. Zieht man nämlich eine Verlängerung des Kreisdurchmessers bis zu einem beliebigen, außerhalb des Kreises gelegenen Punkt G, und zieht man weiters aus diesem Punkt G die beiden Tangenten an den Kreis, dann wird der Kreisdurchmesser AB durch die Berührungssehne TU im Punkte F harmonisch getrennt. Das heißt, es besteht die Proportion <math>AF : BF = AG : BG</math> oder <math>\frac{AF}{BF} : \frac{AG}{BG} = -1</math> oder <math>AB = M_H = \frac{2a \cdot b}{a + b}</math>, wobei unter <math>M_H</math> das harmonische Mittel, unter a die Strecke AF und unter b die Strecke AG zu verstehen ist. Zur Kontrolle haben wir als Hilfsfigur über unsere Kreiskonstruktion ein Büschel harmonischer Strahlen gezeichnet, wie wir es im [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 222c|Kapitel 22]] zur Konstruktion harmonischer Punkte benützten.
:Wie wir sehen, konnten wir unsere Behauptung, die sich übrigens auch unschwer beweisen läßt, durch die Konstruktion „verifizieren“. Durch diese Konstruktion aber gewinnen wir, da der Punkt M willkürlich ist, sofort wieder eine ganze Fülle neuer Beziehungsmöglichkeiten. Wir müssen es uns aber leider versagen, hierauf näher einzugehen, da uns weitere, äußerst grundlegende und wichtige Eigenschaften des Kreises interessieren. Wir unterscheiden im Kreise vorläufig drei Arten von Winkeln. Die Peripheriewinkel, die Zentriwinkel und den Sehnen-Tangentenwinkel, der manchmal zu den Peripheriewinkeln gezählt wird. Dazu wird dann später als besonders merkwürdiger Peripheriewinkel der sogenannte „Winkel im Halbkreis“ kommen. Unter Peripheriewinkel versteht man einen Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind. Hiebei wird, wie schon angedeutet, die Tangente oftmals als degenerierte Sekante betrachtet, so daß der Sehnen-Tangentenwinkel zum Grenzfall des Peripheriewinkels entartet. Der Zentriwinkel dagegen hat seinen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises und seine Schenkel sind demgemäß immer zwei Radien des Kreises. Der Winkel im Halbkreise endlich ist ein Sonderfall des Peripheriewinkels, bei dem die beiden Schenkel durch die Endpunkte eines Durchmessers laufen. Wir werden uns alle vier Fälle, die sich eigentlich auf zwei, nämlich Peripherie- und Zentriwinkel, reduzieren lassen, in einer Figurenreihe festhalten. <br style="clear:both;" />
 
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 218 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Nun behaupten wir folgende Eigenschaften dieser Winkel: Peripheriewinkel, die über demselben Kreisbogen, oder was dasselbe ist, über derselben Sehne stehen, sind einander stets gleich. Diese Gleichheit erstreckt sich auch auf den Sehnen-Tangentenwinkel, der die Basissehne zu einem seiner Schenkel hat. Wenn man weiters über demselben Bogen (oder derselben Sehne) den Zentriwinkel bildet, dann ist dieser Zentriwinkel zweimal so groß als die „zugehörigen“, d.&nbsp;h. eben die über demselben Bogen errichteten Peripheriewinkel, eine Beziehung, die sich naturgemäß auch auf den vorhin festgesetzten Sehnen-Tangentenwinkel überträgt. Schließlich wird der Winkel im Halbkreis, da er ja nichts anderes ist als ein Peripheriewinkel über dem Durchmesser, also über einem gestreckten oder 180grädigen, aus den zwei aneinandergefügten Radien bestehenden Zentriwinkel, stets 90° oder einen rechten Winkel betragen, an welcher Stelle auch immer man ihn errichtet. Man kann nun den ersten Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die über demselben Bogen stehen, direkt auf projektivem Weg beweisen. (<small>Also nicht auch die Winkel, die ihren Scheitel im Bogen selbst haben. Diese sind Supplemente der ersten Peripheriewinkel, wie wir sehen werden.</small>) <br style="clear:both;" />
 
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 219 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
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:Daher ist Winkel <math>\eta '</math> zweimal so groß wie Winkel <math>\alpha '</math>, wie Winkel <math>\beta '</math> und damit wie Winkel <math>\rho '</math>,
:was zu beweisen war.
:Damit hätten wir alle unsere Behauptungen durch Beweise erhärtet, da auch der Winkel im Halbkreis nichts anderes ist als ein spezieller Peripheriewinkel, dessen zugehöriger Zentriwinkel 180° ist. Wir haben aber zudem noch unseren Beweis auf alle möglichen Fälle bis einschließlich dem Grenzfall des Sehnen-Tangentenwinkels ausgedehnt, so daß wir in vollster Allgemeinheit behaupten dürfen, der zugehörige Peripheriewinkel sei stets halb so groß wie der Zentriwinkel. Da aber weiters zu jedem Zentriwinkel unendlich viele zugehörige Peripheriewinkel über demselben Bogen oder derselben Sehne existieren, die alle gleich der Hälfte des einen Zentriwinkels sind, so sind sie auch untereinander gleich. Also alle Peripheriewinkel über derselben Sehne oder demselben Bogen sind einander gleich, was zu beweisen wir noch schuldig waren. Hiezu sei bemerkt, daß diese Eigenschaft der Peripheriewinkel in der Praxis von großer Bedeutung ist. Wenn man nämlich die Vorderkante einer Theaterbühne als Kreissehne betrachtet, braucht man die Sitzreihen des Theaters nur in entsprechender Kreisform anzulegen, wodurch dann jedem Zuseher, wo immer er auch sitzt, die Bühne unter gleichgeöffnetem Sehwinkel erscheinen muß. Denn die Sehwinkel sind ja dann nichts anderes als Peripheriewinkel, die alle gleich sein müssen; Natürlich bezieht sich dieser Vorteil nur auf die „Öffnung“ des Sehwinkels und nicht auf die perspektivische Schräge, unter der gesehen wird. Denn die Schräge hängt davon ab, unter welchem Winkel die Vorderkante der Bühne die Achse des Sehstrahlenbüschels oder -bündels schneidet.
:Obgleich wir nun den 90grädigen Winkel im Halbkreis schon mitbewiesen haben, wollen wir trotzdem noch einen abgesonderten Proportionenbeweis für diesen fundamental wichtigen Satz erbringen, an den wir dann weitere Betrachtungen anschließen werden. Man nennt diesen Satz auch den Lehrsatz des Thales von Milet, eines Weltweisen, den wir schon vom „Entfernungsmesser“ her kennen.
 
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 221 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Da AB voraussetzungsgemäß ein Durchmesser des Kreises ist - denn nur durch Ziehen eines solchen kann ja der „Halbkreis“ entstehen -, so liegt auf ihm der Mittelpunkt des Kreises O. Wenn ich nun von O nach dem Scheitel des Peripheriewinkels über AB eine Verbindungslinie lege, so ist diese Strecke OC ebenso wie OA und OB ein Halbmesser des Kreises. Dadurch aber entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke AOC und BOC. In diesen existieren je zwei gleiche Winkel <math>\alpha</math> bzw. <math>\beta</math>. Da nun weiters im Dreieck <math>ABC</math> die Winkelsumme <math>(2 \alpha + 2 \beta = 180^\circ</math> betragen muß, so ist <math>(\alpha + \beta) = \frac{180}{2} = 90^\circ</math>. Da aber <math>(\alpha + \beta)</math> nichts anderes ist als unser Winkel im Halbkreis, so ist dieser Winkel eben stets <math>90^\circ</math> oder ein Rechter, was zu beweisen war. <br style="clear:both;" />
 
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 222 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Dieser rechte Winkel im Halbkreis spielt nicht nur für geometrische Konstruktionen und Beweise eine, ganz besondere Rolle, sondern kann auch zur konstruktiven Darstellung von Quadratwurzeln benützt werden. Wir werden die ingeniöse Art, in der ein Leonardo da Vinci mit Hilfe dieser Eigenschaft des Halbkreiswinkels Wurzeln zog, sogleich demonstrieren. Er verlangt nichts anderes, als daß man die Zahl, aus der die Wurzel zu ziehen ist, sagen wir etwa 7, in gleichen Strecken beliebiger Länge auf eine Gerade auftrage, hierauf die Einheit anfüge, über diese um eins vergrößerte Zahlenstrecke einen Halbkreis errichte und hierauf schließlich vom Endpunkt der Maßstrecke (Strecke 7) eine Senkrechte bis zum Kreisumfang ziehe. Wo diese Senkrechte den Kreis schneidet, ist der Endpunkt der „Wurzelstrecke“. Ihr' Anfangspunkt liegt in unserer Geraden, die ja nichts ist als ein Durchmesser des Kreises. Folgen wir also zuerst der Anleitung und versuchen wir dann den Beweis.