Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»
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:Wir wählen jedoch einen weniger eleganten, doch ausführlicheren Beweis, der zugleich auch die Beziehung zum Zentri- und Sehnen-Tangentenwinkel klärt, da wir beim projektiven Beweis zu viele Hilfssätze neu einführen müßten.
:Wir schließen nun bei der Figur 83 (linke Seite) folgendermaßen: Die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind mit dem Winkel <math>\rho</math>, also mit dem Peripheriewinkel gleich, da wir ja die Geraden RS und FQ absichtlich parallel zu den Schenkeln des Peripheriewinkels gezogen haben. Und zwar durch den Kreismittelpunkt, was für später wichtig ist. Nun ist der Bogen RB plus dem Bogen AP plus dem Bogen PR zweimal so groß wie der Bogen PB, weil PR einerseits gleich ist dem Bogen QS, andererseits sich dieser Bogen QS jedoch aus CS und QC zusammensetzt. Nun ist weiter der Bogen CS gleich Bogen RB und Bogen QC gleich Bogen AP, da im Kreise Bogen zwischen parallelen Sekanten stets gleich sein müssen, wofür wir vorläufig keinen eigenen Beweis bringen, da es uns auch die Anschauung glaubwürdig macht. Wenn aber somit der ganze Bogen AB doppelt so groß ist wie PR, dann ist der Zentriwinkel über AB doppelt so groß wie der Zentriwinkel über PR. Denn Zentriwinkel über verschiedenen Bogen sind diesen Bogen proportional, was wir bei der Winkelmessung noch genauer erörtern werden. Somit ist Winkel <math>\eta</math> doppelt so groß wie Winkel <math>\alpha</math>. Da aber endlich Winkel <math>\alpha</math> gleich Winkel <math>\rho</math>, so ist Winkel <math>\eta</math> doppelt so groß wie Winkel <math>\rho</math>, was zu beweisen war. Aber auch der Sehnen-Tangentenwinkel <math>\gamma \equiv \alpha \equiv \rho = \frac{1}{2} \eta</math>. Denn AOB ist ein gleichschenkliges Dreieck.
:Folglich ist seine Winkelsumme <math>\eta + 2\epsilon = 180^\circ</math>. Die Winkel <math>\gamma + \epsilon</math> aber sind zusammen 90°. Da aber <math>\gamma + \epsilon = 90^\circ</math>, so ist <math>\epsilon = 90^\circ - \gamma</math>. Also, in die erste Gleichung eingesetzt:
:<math>\eta + 2 \cdot (90^\circ - \gamma) = 180^\circ</math> oder
:<math>\eta + 180^\circ - 2 \gamma = 180^\circ</math> oder
:<math>\eta = 2 \gamma</math>,
:was zu beweisen war.
:Den Beweis für die zweite Figur, wo der eine Schenkel des Peripheriewinkels den einen Schenkel des Zentriwinkels schneidet, führen wir schematischer. Dabei bedeutet der Bogen oberhalb der Großbuchstaben den betreffenden Kreisbogen. Also heißt <math>\widehat{AB}</math> „Bogen AB“. In der zweiten Figur ist
:<math>\widehat{R'B'} + \widehat{P'R'} - \widehat{P'A'} = 2 \widehat{P'R'} = \widehat{A'B'} \widehat{AB}</math>, da <math>\widehat{P'R'} = \widehat{Q'S'} = \widehat{C'S'} - \widehat{C'Q'}</math>.
:was zu beweisen war.
:Damit hätten wir alle unsere Behauptungen durch Beweise erhärtet, da auch der Winkel im Halbkreis nichts anderes ist als ein spezieller Peripheriewinkel, dessen zugehöriger Zentriwinkel 180° ist. Wir haben aber zudem noch unseren Beweis auf alle möglichen Fälle bis einschließlich dem Grenzfall des Sehnen-Tangentenwinkels ausgedehnt, so daß wir in vollster Allgemeinheit behaupten dürfen, der zugehörige Peripheriewinkel sei stets halb so groß wie der Zentriwinkel. Da aber weiters zu jedem Zentriwinkel unendlich viele zugehörige Peripheriewinkel über demselben Bogen oder derselben Sehne existieren, die alle gleich der Hälfte des einen Zentriwinkels sind, so sind sie auch untereinander gleich. Also alle Peripheriewinkel über derselben Sehne oder demselben Bogen sind einander gleich, was zu beweisen wir noch schuldig waren. Hiezu sei bemerkt, daß diese Eigenschaft der Peripheriewinkel in der Praxis von großer Bedeutung ist. Wenn man nämlich die Vorderkante einer Theaterbühne als Kreissehne betrachtet, braucht man die Sitzreihen des Theaters nur in entsprechender Kreisform anzulegen, wodurch dann jedem Zuseher, wo immer er auch sitzt, die Bühne unter
▲Daher ist Winkel 17' zweimal so groß wie Winkel a',
▲wie Winkel ß' und damit wie Winkel' 9', was zu
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Bogen \widehat{ABC}
Gradzeichen 360^\circ
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