Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»
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:Nun behaupten wir folgende Eigenschaften dieser Winkel: Peripheriewinkel, die über demselben Kreisbogen, oder was dasselbe ist, über derselben Sehne stehen, sind einander stets gleich. Diese Gleichheit erstreckt sich auch auf den Sehnen-Tangentenwinkel, der die Basissehne zu einem seiner Schenkel hat. Wenn man weiters über demselben Bogen (oder derselben Sehne) den Zentriwinkel bildet, dann ist dieser Zentriwinkel zweimal so groß als die „zugehörigen“, d. h. eben die über demselben Bogen errichteten Peripheriewinkel, eine Beziehung, die sich naturgemäß auch auf den vorhin festgesetzten Sehnen-Tangentenwinkel überträgt. Schließlich wird der Winkel im Halbkreis, da er ja nichts anderes ist als ein Peripheriewinkel über dem Durchmesser, also über einem gestreckten oder 180grädigen, aus den zwei aneinandergefügten Radien bestehenden Zentriwinkel, stets 90° oder einen rechten Winkel betragen, an welcher Stelle auch immer man ihn errichtet. Man kann nun den ersten Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die über demselben Bogen stehen, direkt auf projektivem Weg beweisen. (<small>Also nicht auch die Winkel, die ihren Scheitel im Bogen selbst haben. Diese sind Supplemente der ersten Peripheriewinkel, wie wir sehen werden.</small>)
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:Wir wählen jedoch einen weniger eleganten, doch ausführlicheren Beweis, der zugleich auch die Beziehung zum Zentri- und Sehnen-Tangentenwinkel klärt, da wir beim projektiven Beweis zu viele Hilfssätze neu einführen müßten.
:Wir schließen nun bei der Figur 83 (linke Seite) folgendermaßen: Die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind mit dem Winkel <math>\delta</math>, also mit dem Peripheriewinkel gleich, da wir ja die Geraden RS und FQ absichtlich parallel zu den Schenkeln des Peripheriewinkels gezogen haben. Und zwar durch den Kreismittelpunkt, was für später wichtig ist. Nun ist der Bogen RB plus dem Bogen AP plus dem Bogen PR zweimal so groß wie der Bogen PB, weil PR einerseits gleich ist dem Bogen QS, andererseits sich dieser Bogen QS jedoch aus CS und QC zusammensetzt. Nun ist weiter der Bogen CS gleich Bogen RB und Bogen QC gleich Bogen AP, da im Kreise Bogen zwischen parallelen Sekanten stets gleich sein müssen, wofür wir vorläufig keinen eigenen Beweis bringen, da es uns auch die Anschauung glaubwürdig macht. Wenn aber somit der ganze Bogen AB doppelt so groß ist wie PR, dann ist der Zentriwinkel über AB doppelt so groß wie der Zentriwinkel über PR. Denn Zentriwinkel über verschiedenen Bogen sind diesen Bogen proportional, was wir bei der Winkelmessung noch genauer erörtern werden. Somit ist Winkel <math>\eta</math> doppelt so groß wie Winkel <math>\alpha</math>. Da aber endlich Winkel <math>\alpha</math> gleich Winkel <math>\delta</math>, so ist Winkel <math>\eta</math> doppelt so groß wie Winkel <math>\delta</math>, was zu beweisen war. Aber auch der Sehnen-Tangentenwinkel <math>\gamma \equiv \alpha \equiv \delta = \frac{1}{2} \eta</math>. Denn AOB ist ein gleichschenkliges Dreieck. Folglich
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