Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 223c»
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:Wir werden jetzt, im Zusammenhang mit unseren beiden Tangenten, eine für zahlreiche Aufgaben über den Kreis grundlegend wichtige harmonische Eigenschaft des Kreises aufzeigen. Zieht man nämlich eine Verlängerung des Kreisdurchmessers bis zu einem beliebigen, außerhalb des Kreises gelegenen Punkt G, und zieht man weiters aus diesem Punkt G die beiden Tangenten an den Kreis, dann wird der Kreisdurchmesser AB durch die Berührungssehne TU im Punkte F harmonisch getrennt. Das heißt, es besteht die Proportion <math>AF : BF = AG : BG</math> oder <math>\frac{AF}{BF} : \frac{AG}{BG} = -1</math> oder <math>AB = M_H = \frac{2a \cdot b}{a + b}</math>, wobei unter <math>M_H</math> das harmonische Mittel, unter a die Strecke AF und unter b die Strecke AG zu verstehen ist. Zur Kontrolle haben wir als Hilfsfigur über unsere Kreiskonstruktion ein Büschel harmonischer Strahlen gezeichnet, wie wir es im [[Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 222c|Kapitel 22]] zur Konstruktion harmonischer Punkte benützten.
:Wie wir sehen, konnten wir unsere Behauptung, die sich übrigens auch unschwer beweisen läßt, durch die Konstruktion „verifizieren“. Durch diese Konstruktion aber gewinnen wir, da der Punkt M willkürlich ist, sofort wieder eine ganze Fülle neuer Beziehungsmöglichkeiten. Wir müssen es uns aber leider versagen, hierauf näher einzugehen, da uns weitere, äußerst grundlegende und wichtige Eigenschaften des Kreises interessieren. Wir unterscheiden im Kreise vorläufig drei Arten von Winkeln. Die Peripheriewinkel, die Zentriwinkel und den Sehnen-Tangentenwinkel, der manchmal zu den Peripheriewinkeln gezählt wird. Dazu wird dann später als besonders merkwürdiger Peripheriewinkel der sogenannte „Winkel im Halbkreis“ kommen. Unter Peripheriewinkel versteht man einen Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind. Hiebei wird, wie schon angedeutet, die Tangente oftmals als degenerierte Sekante betrachtet, so daß der Sehnen-Tangentenwinkel zum Grenzfall des Peripheriewinkels entartet. Der Zentriwinkel dagegen hat seinen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises und seine Schenkel sind demgemäß immer zwei Radien des Kreises. Der Winkel im Halbkreise endlich ist ein Sonderfall des Peripheriewinkels, bei dem die beiden Schenkel durch die Endpunkte eines Durchmessers laufen. Wir werden uns alle vier Fälle, die sich eigentlich auf zwei, nämlich Peripherie- und Zentriwinkel, reduzieren lassen, in einer Figurenreihe festhalten.
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:Nun behaupten wir folgende Eigenschaften dieser Winkel: Peripheriewinkel, die über demselben Kreisbogen, oder was dasselbe ist, über derselben Sehne stehen, sind einander stets gleich. Diese Gleichheit erstreckt sich auch auf den Sehnen-Tangentenwinkel, der die Basissehne zu einem seiner Schenkel hat. Wenn man weiters über demselben Bogen (oder derselben Sehne) den Zentriwinkel bildet, dann ist dieser Zentriwinkel zweimal so groß als die „zugehörigen“, d. h. eben die über demselben Bogen errichteten Peripheriewinkel, eine Beziehung, die sich naturgemäß auch auf den vorhin festgesetzten Sehnen-Tangentenwinkel überträgt. Schließlich wird der Winkel im Halbkreis, da er ja nichts anderes ist als ein Peripheriewinkel über dem Durchmesser, also über einem gestreckten oder 180grädigen, aus den zwei aneinandergefügten Radien bestehenden Zentriwinkel, stets 90° oder einen rechten Winkel betragen, an welcher Stelle auch immer man ihn errichtet. Man kann nun den ersten Satz von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die über demselben Bogen stehen, direkt auf projektivem Weg beweisen. (<small>Also nicht auch die Winkel, die ihren Scheitel im Bogen selbst haben. Diese sind Supplemente der ersten Peripheriewinkel, wie wir sehen werden.</small>)
:Wir wählen jedoch einen weniger eleganten, doch ausführlicheren Beweis, der zugleich auch die Beziehung zum Zentri- und Sehnen-Tangentenwinkel klärt, da wir beim projektiven Beweis zu viele Hilfssätze neu einführen müßten.
:Wir schließen nun bei der linksstehenden Figur folgendermaßen: Die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind mit dem Winkel
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