Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 219c»
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:Höhe und Grundlinie des Dreiecks sind gleichsam die Elementarstücke für jede Berechnung von Flächeninhalten. Daher wollen wir schon an dieser Stelle den Beweis führen, daß es ganz gleichgültig ist, welche Höhe und welche dazugehörige Grundlinie man der Berechnung unterlegt.
:In unserem Dreieck schneiden sich die beiden Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> in einem Punkt 0 und verbinden die Punkte A und D bzw. B und E. Nun sind die Dreiecke BCE und ACD einander ähnlich, da sie beide rechtwinklige Dreiecke sind, die den Winkel bei C gemeinsam haben. Daher müssen auch die Winkel ε und δ einander gleich sein und es gilt der WWW-Ähnlichkeitssatz. Nach unserer Proportionenlehre muß dann aber auch die Beziehung <math>a : h_b = b : h_a</math> gelten, woraus <math>a \cdot h_a = b \cdot h_b</math> folgt. Da ich weiters die dritte Höhe jederzeit mit einer der beiden bereits gezogenen Höhen zum Schnitt hätte bringen können und dabei naturgemäß dieselbe Beziehung hätte finden müssen und da weiters zwei Größen, die einer dritten gleich sind, auch untereinander gleich sein müssen, ist der Beweis erbracht, daß <math>a \cdot h_a = b \cdot h_b</math>, daß also die Produkte aller drei Höhen mit ihren zugehörigen Grundlinien im Dreieck einander gleich sind. Wenn wir also eine Formel finden, in der das Produkt zwischen Grundlinie und Höhe eine Rolle spielt, dann.dürfen wir stets eine beliebige Höhe mit einer zugehörigen Grundlinie wählen und müssen dasselbe Ergebnis erhalten, als ob wir eine der beiden anderen Höhen gewählt hätten. Nun aber zum dritten merkwürdigen Punkt, zum gemeinsamen Schnittpunkt aller drei Höhen im Dreieck. Wir hätten im Dreieck ABC die drei Höhenkonstruiert, die sich tatsächlich - vorläufig können wir nicht wissen, ob dies vielleicht nur Zufall ist - in einem Punkte schneiden.
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 178 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Hierauf ziehen wir durch die drei Eckpunkte A, B und C drei Parallelen zu den bezüglichen gegenüberliegenden Seiten unseres Dreiecks und bilden aus diesen drei Geraden ein großes Dreieck A'B'C'. Da nun nach dem Sätze, daß Parallele zwischen Parallelen gleich lang sein müssen, die Beziehung <math>AB' \equiv BC</math> und <math>AC' \equiv BC</math> gilt, so muß auch AB' kongruent sein AC'. Das aber AD auf BC senkrecht steht, muß AD auch auf der dazu parallelen Strecke B'C' senkrecht stehen. AD ist also sowohl eine Höhe im kleineren als auch eine Seitensymmetrale (der Seite B'C') im großen Dreieck. Da sich entsprechend die beiden anderen Höhen zu Seitensymmetralen von A'B' bzw. A'C' umdeuten lassen, müssen sich die drei Strecken AD, CF und BE als Seitensymmetralen des großen Dreiecks in einem gemeinsamen Punkte, nämlich im Punkte 0 schneiden. Diese Tatsache kann sich dadurch nicht ändern, daß man sie als Höhen des kleineren Dreiecks betrachtet. Denn stets muß die Höhe eines Dreiecks die Seitensymmetrale eines in obenstehender Art konstruierten großen Dreiecks sein. Damit ist aber auch der Beweis für das Vorhandensein des dritten merkwürdigen Punktes im Dreieck erbracht.
:Der vierte und letzte merkwürdige Punkt des Dreiecks führt uns in ein anderes Gebiet, nämlich ins Reich der Statik oder Gleichgewichtslehre, das streng genommen nicht der Geometrie, sondern der Physik zugehört. Dinge, die mit der Schwere etwas zu tun haben, können keine geometrischen Figuren sein. Denn geometrische Figuren sind stets schwerelose Schemen, sind vollständig immaterielle Gebilde. Gleichwohl sind jedoch die Geometriker aus verschiedenen Gründen gezwungen, sich mit Gleichgewichtsfragen zu beschäftigen, da das Gleichgewicht von Figuren gewissen rein geometrischen Formgesetzen unterliegt, die mit materieller Schwere nur höchst indirekt zu tun haben. Der Rauminhalt eines Körpers ist ja streng genommen auch eine physische oder physikalische Angelegenheit. Denn ein Kubikdezimeter Nichts ist eben überhaupt ein Nichts. So wie aber der Rauminhalt, im Hinblick auf mögliche Erfülltheit des Raumes mit Materie, ausgemessen werden kann, so kann auch die Schwerpunktverlagerung einer Figur rein geometrisch auf mögliche Verwirklichung dieser Figur in der körperlichen Welt untersucht werden. Es sei zugegeben, daß der Raum als das „Ausgedehnte“ bestehen bleibt, wenn auch alle Inhalte weggedacht werden, was beim Gleichgewicht nicht gut möglich ist. Aber eine gewisse Ähnlichkeit der beiden Probleme besteht sicherlich. Und in der Geschichte der Mathematik haben sich nicht nur Griechen, wie der große Archimedes, eingehendst mit statischen Aufgaben befaßt, die sie der Geometrie gleichsam eingliederten, sondern auch Neuere, wie Guldin, haben auf Grund statischer Beziehungen rein geometrische Sätze aufgestellt.
:Wir beruhigen uns also damit, daß es sich für uns sozusagen um ein ideelles Gleichgewicht der Figuren handelt, wozu wir weiter nichts vorauszusetzen brauchen, als daß die Figuren in sich gleichartig (homogen) sind. Ebenen-Teile also mußten überall gleich dick sein, wobei diese Gleichheit auch besteht, wenn eine Dicke überhaupt nicht vorhanden ist. Die Figuren sind eben dann überall gleich „nicht-dick“ und sind damit homogen.
:Nach diesen Verwahrungen definieren wir die drei sogenannten Schwerlinien des Dreiecks als Verbin-
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