Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 219c»
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:Danach müssen nämlich OA und OC einander gleich sein, ebenso aber OA und OB. Wenn sich also bloß die zwei Symmetralen der Seiten AC und AB in einem Punkte O schneiden, was stets der Fall sein muß, dann ist weiterhin auch OB mit OC gleich, da diese beiden Strecken, wie schon oben erwähnt, beide gleich OA sind. Dann muß aber weiters der Punkt 0 auch ein Punkt der Seitensymmetrale von BC sein, was wieder aus der Umkehrung unseres oben bewiesenen Streckensymmetralensatzes folgt. Das aber war ja eben zu beweisen. Der Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen des Dreiecks, die sich stets in einem einzigen Punkte schneiden müssen (<small>Dieser Schnittpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.</small>), ist der zweite merkwürdige Punkt des Dreiecks und hat die Eigenschaft, daß alle drei Eckpunkte des Dreiecks von ihm gleich weit entfernt sind. Es ist also <math>OA \equiv OB \equiv OC</math>.
:Um zum dritten merkwürdigen Punkt des Dreiecks zu gelangen, müssen wir einen neuen, äußerst wichtigen Begriff einführen, nämlich die Höhe des Dreiecks. Darunter versteht man die Senkrechte, die von einem der Eckpunkte auf die gegenüberliegende Seite oder auf deren Verlängerung gefällt wird. Jedes Dreieck hat also drei mögliche Höhen. Die Seite, auf der selbst oder auf deren Verlängerung die betreffende Höhe senkrecht steht, heißt jeweils die Grundlinie des Dreiecks und wird in den Zeichnungen stets horizontal gezogen, wobei der Eckpunkt, mit dem sie durch die Höhe verbunden ist, darüber zu liegen kommt.
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 176 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]
:Höhe und Grundlinie des Dreiecks sind gleichsam die Elementarstücke für jede Berechnung von Flächeninhalten. Daher wollen wir schon an dieser Stelle den Beweis führen, daß es ganz gleichgültig ist, welche Höhe und welche dazugehörige Grundlinie man der Berechnung unterlegt.
:In unserem Dreieck schneiden sich die beiden Höhen h<sub>a</sub> und h<sub>b</sub> in einem Punkt 0 und verbinden die Punkte A und D bzw. B und E. Nun sind die Dreiecke BCE und ACD einander ähnlich, da sie beide rechtwinklige Dreiecke sind, die den Winkel bei C gemeinsam haben. Daher müssen auch die Winkel ε und δ einander gleich sein und es gilt der WWW-Ähnlichkeitssatz. Nach unserer Proportionenlehre muß dann aber auch die Beziehung <math>a : h_b = b : h_a</math> gelten, woraus <math>a \cdot h_a = b \cdot h_b</math> folgt. Da ich weiters die dritte Höhe jederzeit mit einer der beiden bereits gezogenen Höhen zum Schnitt hätte bringen können und dabei naturgemäß dieselbe Beziehung hätte finden müssen und da weiters zwei Größen, die einer dritten gleich sind, auch untereinander gleich sein müssen, ist der Beweis erbracht, daß <math>a \cdot h_a = b \cdot h_b</math>, daß also die Produkte aller drei Höhen mit ihren zugehörigen Grundlinien im Dreieck einander gleich sind. Wenn wir also eine Formel finden, in der das Produkt zwischen Grundlinie und Höhe eine Rolle spielt, dann.dürfen wir stets eine beliebige Höhe mit einer zugehörigen Grundlinie wählen und müssen dasselbe Ergebnis erhalten, als ob wir eine der beiden anderen Höhen gewählt hätten. Nun aber zum dritten merkwürdigen Punkt, zum gemeinsamen Schnittpunkt aller drei Höhen im Dreieck. Wir hätten im Dreieck ABC die drei Höhenkonstruiert, die sich tatsächlich - vorläufig können wir nicht wissen, ob dies vielleicht nur Zufall ist - in einem Punkte schneiden. Hierauf ziehen wir durch die drei Eckpunkte A, B und C drei Parallelen zu den bezüglichen gegenüberliegenden Seiten unseres Dreiecks und bilden aus diesen drei Geraden ein großes Dreieck A'B'C'. Da nun nach dem Sätze, daß Parallele
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