Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 219c»

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:Wir haben auffallend oft vom Dreieck gesprochen. Das hat seine guten Gründe. Das Dreieck ist, wie wir wissen, die „Simplex“-Figur der Ebene. Und da wir uns weiterhin vorläufig mit der Geometrie in der Ebene, mit der sogenannten Planimetrie oder Ebenen-Messung beschäftigen werden, so müssen wir diese einfachste Figur der Ebene bis zum Grund untersuchen. Wir verraten dabei vorgreifend, daß eigentlich unsere ganze Geometrie im Wesen eine „Dreiecksgeometrie“ ist. Wir könnten ohne viel Mühe aufzeigen, daß das Dreieck in entarteter Form auch dort auftritt, wo wir es gar nicht vermuten. Etwa in der Lehre vom Kreis. Stets werden wir offen oder verkappt auf Dreiecksätze zurückgreifen und uns auf sie berufen. Am Dreieck werden wir allerlei Grundbeziehungen studieren und sie dann durch Zusammensetzung und Zerlegung auf alle anderen Figuren - vorläufig auf Figuren der Ebene - anwenden und übertragen. Unser „Simplex“ wird uns Führer sein bis hinauf zu den Höhen der mehrdimensionalen und der nichteuklidischen Geometrien. Und wie wir bei der Geometrie der Lage synthetisch oder aufbauend vorgegangen sind, so werden wir jetzt in der Maßgeometrie alles vom Dreieck her aufbauen. Und wir können schließlich die überraschendsten Brücken schlagen. Plötzlich werden uns auch der „Pascal“, der „Brianchon“ und der „Desargues“ nicht anders erscheinen denn als Sätze, die man schließlich auf Dreiecke anwenden darf. Und wir wissen schon, daß das Dreieck auch wieder ein Grenzfall einer Kurve zweiter Ordnung, einer sogenannten Kegelschnittskurve ist. Es darf uns also die bevorzugte Behandlung des Dreiecks durchaus nicht verdrießlich machen. Sie darf aber bei uns auch nicht den Verdacht erwecken, daß wir unsere Geometrie gleichsam als Mißgeburt mit einem Wasserkopf aufbauen, wenn dieser Vergleich, der das Dreieck zum Wasserkopf stempelt, erlaubt ist. Wir müssen nämlich stets eines bedenken. Gemessen werden Strecken und Winkel. Strecken und Winkel sind die beiden Arten von Größen, die uns in der Geometrie primär interessieren. Nun ist aber das Dreieck die einfachste aus diesen beiden Größengattungen zusammengesetzte Figur. Und gerade durch die infolge des Simplexcharakters entstehende engste und dadurch gleichsam eher verwickelte Verbindung und Verschwisterung dieser beiden Größengattungen ergeben sich alle Beziehungen zwischen Winkeln und Strecken innerhalb des Dreiecks in Reinkultur. Und in einer Art, die es uns erlaubt, ein kombiniertes Winkel-Strecken-Maßsystem aufzubauen, das deshalb für alle Fälle gelten muß, weil sich in letzter Linie alle Figuren der Geometrie in echte oder entartete Dreiecke zerlegen und auflösen lassen oder doch zumindest mit dem Dreieck in irgendeine Beziehung zu bringen sind.
:Wir haben schon einen der „merkwürdigen Punkte“ des Dreiecks, nämlich den Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden untersucht und dabei einige besondere Eigenschaften dieses Schnittpunkts, insbesondere seine identische Entfernung von allen drei Dreieckseiten festgestellt. Wenn wir uns nun dem zweiten „merkwürdigen Punkt“ des Dreiecks zuwenden wollen, so müssen wir die sogenannten Seitensymmetralen der drei Seiten betrachten. Unter einer Strecken- oder Seitensymmetrale hat man sich, wie unter jeder Symmetrale, gleichsam eine Achse vorzustellen. Klappt man dann die symmetrisch zu halbierende Figur um die Symmetrieachse, so erhält man Kongruenz der beiden Hälften der Figur. In der Alltagssprache nennen wir einen derartigen Vorgang das Zusammenfalten oder Zusammenlegen. Die Umbruchlinie oder Falzlinie ist die Symmetrieachse des betreffenden Gebildes. Nicht alle Gebilde können jedoch symmetrisch gefaltet werden. Bei unregelmäßigen Dreiecken oder Vielecken finde ich keine Symmetrieachse für die ganze Figur. Dagegen sind Winkel und Strecken stets symmetrisch zu teilen. Und eine Streckensymmetrale hat auch, a gleichwie die Winkelsymmetrale, gewisse feststehende Eigenschaften.
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:Die durch die Symmetrale zu teilende Strecke AB wird in der Mitte zwischen A und B von der Symmetraleim Punkte 0 geschnitten. Und zwar senkrecht. Wenn ich nun einen beliebigen Punkt der Streckensymmetrale C, C', C'', C''' usw. mit den beiden Endpunkten der Strecke A und B verbinde, dann müssen die aus einem Punkt der Symmetrale ausgehenden Verbindungsstrecken CA und CB oder C'A und C'B und so fort einander gleich sein. Dies folgt aus dem SWS-Satz, da stets die eine Seite OC, OC' usw. identisch, die zweite Seite OA bzw. OB definitionsgemäß in beiden Dreiecken gleich ist und schließlich der Winkel R von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird. Diese eben bewiesene Eigenschaft der Streckensymmetrale liefert uns auch sofort den Beweis vom gemeinsamen Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen im Dreieck.
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:Danach müssen nämlich OA und OC einander gleich sein, ebenso aber OA und OB. Wenn sich also bloß die zwei Symmetralen der Seiten AC und AB in einem Punkte O schneiden, was stets der Fall sein muß, dann ist weiterhin auch OB mit OC gleich, da diese beiden Strecken, wie schon oben erwähnt, beide gleich OA sind. Dann muß aber weiters der Punkt 0 auch ein Punkt der Seitensymmetrale von BC sein, was wieder aus der Umkehrung unseres oben bewiesenen Streckensymmetralensatzes folgt. Das aber war ja eben zu beweisen. Der Schnittpunkt der drei Seitensymmetralen des Dreiecks, die sich stets in einem einzigen Punkte schneiden müssen (<small>Dieser Schnittpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.</small>), ist der zweite merkwürdige Punkt des Dreiecks und hat die Eigenschaft, daß alle drei Eckpunkte des Dreiecks von ihm gleich weit entfernt sind. Es ist also <math>OA \equiv OB \equiv OC</math>.
:Um zum dritten merkwürdigen Punkt des Dreiecks zu gelangen, müssen wir einen neuen, äußerst wichtigen Begriff einführen, nämlich die Höhe des Dreiecks. Darunter versteht man die Senkrechte, die von einem der Eckpunkte auf die gegenüberliegende Seite oder auf deren Verlängerung gefällt wird. Jedes Dreieck hat also drei mögliche Höhen. Die Seite, auf der selbst oder auf deren Verlängerung die betreffende Höhe senkrecht steht, heißt jeweils die Grundlinie des Dreiecks und wird in den Zeichnungen stets horizontal gezogen, wobei der Eckpunkt, mit dem sie durch die Höhe verbunden ist, darüber zu liegen kommt. Höhe
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