Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 216c»
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:Obwohl wir bei dieser Zeichnung durchaus keine Regel der Herstellung des Pascalschen Sechsecks verletzt haben, können wir unsere Pascalsche Gerade nicht gewinnen, da sich die Gegenseiten AB<sub>1</sub> und A<sub>1</sub>B, BC<sub>1</sub> und B<sub>1</sub>C und CA<sub>1</sub>, und C<sub>1</sub>A in keiner Art zum Schnitt bringen lassen. Ohne Schnittpunkte der Gegenseiten gibt es jedoch keine Pascalsche Gerade, da diese ja eben aus den Schnittpunkten gewonnen wird. Wir werden es also mit dem Rotwelsch der projektiven Geometrie versuchen, uns doch zu irgendeiner Pascalschen Geraden zu schwindeln. Denn wenn wir sie nicht fänden, fiele uns unser schöner allgemeiner Satz sofort zusammen. Allgemeine Sätze dürfen nicht eine einzige Ausnahme dulden. Sonst sind sie falsch oder überhaupt nie allgemein gewesen.
:Wo also, so fragen wir harmlos, schneiden sich unsere Gegenseiten eigentlich? Der mürrische Euklidiker brummt darauf: „Nirgends! Laß mich in Ruhe. Du siehst ja, daß die Gegenseiten parallel sind. Parallel sein heißt aber, keinen Schnittpunkt haben. Hätte Pascal besser aufgepaßt und nicht solche vage Behauptungen aufgestellt.“ „Oho,“ antwortet darauf der projektive Geometriker, „oho, mein Freund. Du bist etwas veraltet in deinen Ansichten. Ich finde, daß da gar kein Widerspruch ist. Parallele Gerade schneiden einander in unendlich fernen Schnittpunkten. Wir haben hier also drei unendlich ferne Pascalsche Schnittpunkte.“ „Nun, und?“ brummt der Euklidiker weiter. „Was soll damit getan sein? Der eine deiner erschwindelten unendlich fernen Punkte liegt auf der einen, der andere auf der anderen Seite.“ „Das ist meine Sache, zu entscheiden, wo die drei Punkte liegen“, repliziert der Poncelet-Schüler. „Wie wir schon am Beispiel der Sonnenstrahlen zeigten, ist es naturgemäßer, die unendlich fernen Punkte nicht wahllos anzunehmen. Wir haben zudem hier drei Paare von Parallelen in einer Ebene. Wir lassen sie alle nach derselben Richtung zum Schnitt kommen. Dann werden alle drei Schnittpunkte gleich weit von uns entfernt sein, da sie alle unendlich weit sind. Und sie werden deshalb auf einer Geraden, der unendlich fernen Geraden liegen, die nach unseren projektiven Anschauungen als Schnittlinie eines Ebenenbündels aus parallelen Ebenen genau so berechtigt ist wie der unendlich ferne Punkt als Schnitt von parallelen Geraden. Damit aber ist unser Problem gelöst. In unserem Grenzfall ist die Pascalsche Gerade eine unendlich ferne Gerade, in der die drei Schnittpunkte der drei paarweise parallelen Gegenseiten als unendlich ferne Punkte liegen.“
:Wir setzen die Debatte nicht fort, da die neue Geometrie diesen Sonderfall tatsächlich in dieser Art behandelt. Wir fügen nur bei, daß sich aus dem Pascalschen Satz überhaupt und insbesondere aus unserem letzten Fall eine ungeheuer wichtige Folgerung ergibt. Da nämlich jede Gerade schon durch zwei Punkte bestimmt ist, genügen stets schon zwei Schnittpunkte auch zur Bestimmung der Pascalschen Geraden. Wir können also die Pascalsche Gerade jederzeit schon als bestimmt betrachten, wenn die zwei ersten Paare Gegenseiten zum Schnitt gebracht wurden. Man sieht das klar aus der folgenden Zeichnung, in der die den dritten Punkt bestimmenden Gegenseiten gestrichelt sind.
:In unserem Sonderfall muß aber noch etwas anderes eintreten. Wenn nämlich zwei Paare von Gegenseiten als Parallele festgestellt sind, dann haben wir bereits zwei unendlich ferne Schnittpunkte. Zwei unendlich ferne Punkte aber bestimmen unbedingt eine unendlich ferne Gerade. -Daraus folgt, daß auch der Schnittpunkt des dritten Paares von Gegenseiten ein unendlich ferner Punkt sein muß. Wenn er das aber ist, dann ist eben das dritte ,Paar Gegenseiten einander ebenfalls parallel. In dieser veränderten Fassung, die uns zur Grundlegung der Maßgeometrie dienen wird, lautet der ,”,MaB-Pascal“, wie wir ihn nennen wollen, folgendermaßen: Es seien A, B, C bzw. A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>, C<sub>1</sub> je drei Punkte auf zwei einander schneidenden Geraden g und g<sub>1</sub>, wobei die erwähnten Punkte vom Schnittpunkt der beiden Geraden verschieden sein müssen. Ist dann etwa CB<sub>1</sub> parallel zu BC<sub>1</sub> und CA<sub>1</sub> parallel zu AC<sub>1</sub>, dann ist auch BA<sub>1</sub> parallel zu AB<sub>1</sub>. In dieser Form verwendet Hilbert den „Maß-Pascal“. Man könnte natürlich auch je zwei andere Paare von Gegenseiten voranstellen. Stets muß dann das dritte Paar ebenfalls parallel sein (siehe Fig. 51).
:Bevor wir unseren Versuch der Vereinigung von Arithmetik und Geometrie anstellen, müssen wir uns noch über einen Tatbestand volle Klarheit verschaffen. Wir haben es in der Arithmetik stets mit Zahlen zu tun. Die Zahlen können, wie man weiß, ganze und gebrochene, rationale und irrationale, reelle und imaginäre sein usw. In der Maßgeometrie haben wir es offensichtlich mit „Größen“ zu tun. Soll eine vollkommene Verschwisterung, eine unbedingte Entsprechung von Arithmetik und Geometrie eintreten, dann müssen eben den Zahlen stets Größen und den Größen stets Zahlen entsprechen. An und für sich wäre das kein übertriebenes Verlangen. Es ist sicher nicht schwer, einer Größe eine Zahl und einer Zahl eine Größe zuzuordnen. Jedes Kind übt diese Tätigkeit aus, wenn es eine Länge mit dem Zentimeterstab oder dem geeichten Lineal abmißt. Nun hätten wir aber mit dieser bloßen Zuordnung noch sehr wenig gewonnen. Denn es interessiert uns in der Maßgeometrie durchaus nicht bloß das direkte Messen von Größen, sondern in weit höherem Grade das indirekte Messen, das man auch als „Berechnen“ vorläufig noch unbekannter geometrischer Stücke oder Größen bezeichnen kann. Nun liegt im Worte „berechnen“ bereits das ganze Problem, das wir vor uns haben, beschlossen. Wir haben es zudem schon einmal in unserem Beispiel des pythagoräischen Lehrsatzes aufgezeigt. Was berechtigt uns, fragen wir noch einmal, die Regeln der Rechnung auch für die Beziehungen der Größen als bestehend zu betrachten? „Berechnen“ ist ein Sammelname für eine Reihe von Rechenoperationen, die im Reiche der Zahlen Geltung besitzen und die wir nur '''im Reiche der Zahlen''' anwenden dürfen, wenn wir die Grenzen dieses Reiches nicht sehr unbefugt überschreiten wollen. Alle diese Rechenoperationen lassen sich aber wieder, wie die Sätze der Geometrie, auf eine ganz beschränkte Anzahl von Axiomen und Forderungen zurückführen.
:Unsere Prüfung wird sich also darauf beschränken dürfen, den Nachweis zu erbringen, daß diese eben erwähnten Grundsätze des Zahlenrechnens sämtlich auch für die Beziehungen zwischen Größen, und zwar in unserem Fall zwischen geometrischen Größen gelten. Wenn uns dieser Nachweis glückt, dann haben wir gleichsam ein neues, noch umfassenderes Dualitätsprinzip festgestellt, das uns berechtigt, die Begriffe Größe und Zahl beliebig zu vertauschen.
:(<small>Der Verfasser behält es sich vor, diese mathematisch-philosophische Idee an anderer Stelle in all ihren ,Konsequenzen auszubauen.</small>)
:Haben wir dann im Reiche der Zahlen einen Satz bewiesen, so muß er im Reiche der Größen gelten und a umgekehrt. Damit aber hätten wir die weitere Möglichkeit gewonnen, stets die Arithmetik durch Geometrie verbildlichen und die Geometrie durch die Arithmetik sozusagen „verständlichen“ (rationalisieren) zu dürfen. Dies ergibt eine Gegenseitigkeit von Sinnlichkeit und Verstand, Auge und Gehirn, die ja in ihrer folgerichtigen Verwendung erst den wahren Triumph der Mathematik ausgemacht hat.
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