Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 216c»
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:Wir sprachen aber noch von etwas anderem. Nämlich von der Einbeziehung des Zahlenreiches in die Geometrie. Besser sollte man sagen, daß sich zum Zweck einer wirklich brauchbaren Maßgeometrie das Reich der Zahlen, die Arithmetik, mit dem Reich der Gestalten, der Geometrie, unlösbar verschwistern müsse. Dieses Problem der Verschwisterung von Arithmetik und Geometrie ist weit verwickelter und weit abgründiger, als es auf den ersten Blick scheint. Wenn wir für einen kurzen Augenblick elementarste Kenntnisse der Maßgeometrie voraussetzen, so geschieht es nur aus dem Grund, weil wir unser Problem sonst nicht verdeutlichen können. Nehmen wir etwa an, wir hätten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten der Länge 5 cm, 12 cm und 13 cm. Der pythagoräische Lehrsatz behauptet, daß die Quadrate der beiden kleineren Seiten größenmäßig gleich sein müßten mit dem Quadrat der größeren Seite.
:Also 5<sup>2</sup> +12<sup>2</sup> = 13<sup>2</sup> oder
:25 + + 144 = 169, alles in Zentimetern, was offensichtlich stimmt. Nun vergesse ich etwa plötzlich, daß es sich um Geometrie handelt, und denke bloß daran, daß ich einen rechnerischen Ansatz vor mir habe. Es lockt mich, rein rechnerisch mit meiner „Gleichung“ zu jonglieren. Und ich stelle mir vor, ich wüßte nur zwei der Ziffern und wollte daraus die dritte finden. :Also etwa 25 + x = 169. Rechne ich nach den Regeln der Gleichung, dann erhalte ich ▼
▲stimmt. Nun vergesse ich etwa plötzlich, daß es sich um Geometrie handelt, und denke bloß daran, daß ich einen rechnerischen Ansatz vor mir habe. Es lockt mich, rein rechnerisch mit meiner „Gleichung“ zu jonglieren. Und ich stelle mir vor, ich wüßte nur zwei der Ziffern und wollte daraus die dritte finden. :Also etwa 25 + x = 169. Rechne ich nach den Regeln der Gleichung, dann erhalte ich
:x = 169 - 25 = 144.
:Nun wollte ich aber kompliziertere Rechnungsoperationen anwenden und etwa unsere Gleichung folgendermaßen darstellen:
:5<sup>2</sup> + x<sup>2</sup> = 13<sup>2</sup>.
:Daraus ergibt sich als x<sup>2</sup> die Differenz 13<sup>2</sup> - 5<sup>2</sup> und als
:<math> x = \sqrt{
:Nun hätte ich aber noch weitere rechnerische Ambitionen. Ich hätte etwa die Lust, jede unserer Zahlen mit 3<sup>2</sup> zu multiplizieren, was nach den Rechenregeln die Gleichung nicht verändert, da Gleiches mit Gleichem multipliziert wieder. Gleiches ergibt. Also
:::3<sup>2</sup> · (5<sup>2</sup> + 12<sup>2</sup>) = 3<sup>2</sup> · 13<sup>2</sup>
:::3<sup>2</sup> · 5<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> · 12<sup>2</sup> = 3<sup>2</sup> · 13<sup>2</sup>
:::15<sup>2</sup> + 26<sup>2</sup> = 39<sup>2</sup>
:Ich könnte natürlich mit der Gleichung noch weit
verwickeltere Umformungen vornehmen.
Nun erinnere ich mich plötzlich meines pythago-
räischen Lehrsatzes, drehe alles um und behaupte, daß
die letzte Gleichung
:15<sup>2</sup> + 36<sup>2</sup> = 39<sup>2</sup> nichts anderes
darstelle, als ein neues rechtwinkliges Dreieck mit den
Seiten 15, 36, und 39. Und daß unser x und x<sub>1</sub> früher
nichts anderes waren als ein gesuchtes Seitenquadrat
bzw. eine gesuchte Seite. Gewiß, es stimmt aufs Ge-
naueste. Alles, was ich jetzt behauptete, stimmt. Eine
Zeichnung würde mich sofort über die Richtigkeit
meiner Behauptungen belehren. Aber es ist durchaus
nicht selbstverständlich, daß es stimmen muß. Denn
es wäre ganz gut denkmöglich, daß die Rechenregeln
der Arithmetik für sich richtig sind, sich jedoch nicht
als Resultat rechnerischer Umformungen auf geo-
metrische Beziehungen zurückübertragen lassen. Eine
Gleichung und die in der Gleichung vorkommenden
Umformungen sind etwas an sich Weltverschiedenes
von rechtwinkligen Dreiecken und ihren Seitenver-
håltnissen.
:Deshalb müssen wir auch diesen Parallelismus von
Arithmetik und Geometrie irgendwie klarstellen. Denn
wir dürfen ihn nicht stillschweigend voraussetzen, wie
es in der elementaren Schulgeometrie gewöhnlich ge-
schieht. Und wir verraten, daß eben diese Verschwiste-
rung von Arithmetik und Geometrie den tieferen Geo-
metrikern der letzten Jahrtausende genügend Kopf-
zerbrechen verursacht hat, und daß man bei der Lösung
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