Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 214c»

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:'''Vierzehntes Kapitel'''

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:Wir sind aber jetzt von unserem eigentlichen Untersuchungsgegenstand, dem Axiomensystem Hilberts, etwas weit abgeirrt. Wir müssen uns also der Axiomengruppe IV zuwenden, die bloß ein einziges Axiom enthält. Nämlich das vielberufene, rätselhafte und gefährliche Axiom der Parallelen.

:Es wurde von uns über den Begriff der Parallelen schon häufig gesprochen. Wir sind auch ziemlich genau darüber unterrichtet, was man unter Parallelen und Parallelismus zu verstehen hat. Es bleibt uns also nur noch übrig, jetzt dem Axiom der Parallelen, das auch als Euklidisches Axiom oder Axiom Euklids bezeichnet wird, seine präzise wissenschaftliche Formulierung zu geben.

:Wir hätten noch die sogenannten '''Anwinkel''' zu erwähnen, die als je zwei äußere oder je zwei innere Winkel auf derselben Seite der Transversalen erscheinen. Also ζ und η, γ und δ, ε und ϑ, α und β. Daß die Anwinkel stets zusammen 2R oder 180 Grad als Winkelsumme ergeben, geht aus dem Postulat selbst als Bedingung des Parallelismus hervor oder kann aus unseren anderen Feststellungen leicht geschlossen werden.

:Wir dürfen also unser „Postulat“ (unsere „Behauptung“, „Forderung“ oder „Annahme“) auch so aussprechen: Werden zwei Gerade von einer dritten Geraden in der Art geschnitten, daß je zwei Wechselwinkel gleich sind, dann sind auch alle entsprechenden Gegenwinkel einander paarweise gleich und die Anwinkel ergänzen einander paarweise auf 180 Grad (oder sind, wie man es auch nennt, „supplementär“).

 

:Natürlich kann man aus dem Postulat durch entsprechende Umkehrungen allerlei andere Sätze gewinnen, etwa, daß bei derartigen Winkelbeziehungen an der Transversale die beiden Geraden parallel sein müßten usw. Wenn wir nun noch eine dritte Gerade g', die in der Figur gestrichelt eingezeichnet ist, hinzunehmen, die ebenfalls von der Transversale geschnitten wird, und weiters postulieren, daß ihre Winkel sich sowohl zu den Winkeln an der Geraden g₁ als auch zu den Winkeln an der Geraden g₂ gemäß dem Parallelenpostulat verhalten, dann ist g sowohl zu g₁ als zu g₂ parallel. Daraus folgt aber, daß zwei Parallele, die zu einer dritten Geraden parallel sind, auch untereinander parallel sein müssen, weil dann auch zwischen diesen beiden Geraden alle zum Parallelismus erforderlichen Winkelgleichheiten bzw. Supplementaritäten bestehen.