Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 214c»
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:Einfach ausgedrückt heißt das nichts anderes, als daß es jederzeit gelingen muß, die kleinere Strecke AA<sub>1</sub> so oft ahzutragen, daß das Ergebnis dieses Abtragens schließlich durch endliche n-fache Vervielfachung die zweite größere endliche Strecke AB übertrifft. Oder noch einfacher:
:Strecke a < Strecke b.
:Bei geeigneter Wahl von n muß einmal:
:n mal Strecke a > Strecke b,
:oder Strecke b <n mal Strecke a.
:Wenn wir dieses Axiom gelten lassen, dann dürfen wir als letztes Axiom nun formulieren:
:V. 2. „(Axiom der Vollständigkeit.) Die Elemente (Punkte, Gerade, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Dingen, das bei Aufrechterhaltung sämtlicher genannter Axiome keiner Erweiterung mehr fähig ist, das heißt: zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist es nicht möglich, ein anderes System von „Dingen“ hinzuzufügen, so daß in dem durch solche Zusammensetzung entstehenden System sämtliche aufgeführten Axiome I-V und V.1. erfüllt sind.“
:Dieses letzte Axiom verlangt, daß nach einer allfälligen Erweiterung des Systems sämtliche früheren Axiome in der früheren Art und Weise gültig bleiben müssen, sofern man die früheren Beziehungen der Elemente nirgends stört. Ein Punkt etwa, der vor der „Erweiterung des Systems“ zwischen zwei anderen Punkten liegt, dürfte auch nach der Erweiterung nirgends anders liegen, und Winkel und Strecken, die vorher kongruent waren, müßten dies auch nach der Erweiterung bleiben usw.
:Es sei nur angedeutet, daß diese letzten beiden Axiome der Stetigkeit dafür von größter Bedeutung sind, unsere aus vorliegenden Axiomengruppen gewonnene Geometrie als identisch mit der Cartesischen Geometrie nachzuweisen. Auf den Begriff der „Stetigkeit“ werden wir noch zurückkommen. Vorläufig sei nur angemerkt, daß unsere Stetigkeitsaxiome, obwohl sie über Konvergenz nichts aussagen, es gestatten, die Existenz der dem „Dedekindschen Schnitt“ entsprechenden Grenze und den Bolzanoschen Satz vom Vorhandensein der „Verdichtungsstellen“ nachzuweisen; Probleme, die wir noch nicht verstehen können, die ich aber gleichwohl schon hier nennen wollte.
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