Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 214c»

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:Natürlich kann man aus dem Postulat durch entsprechende Umkehrungen allerlei andere Sätze gewinnen, etwa, daß bei derartigen Winkelbeziehungen an der Transversale die beiden Geraden parallel sein müßten usw. Wenn wir nun noch eine dritte Gerade g', die in der Figur gestrichelt eingezeichnet ist, hinzunehmen, die ebenfalls von der Transversale geschnitten wird, und weiters postulieren, daß ihre Winkel sich sowohl zu den Winkeln an der Geraden g<sub>1</sub> als auch zu den Winkeln an der Geraden g<sub>2</sub> gemäß dem Parallelenpostulat verhalten, dann ist g sowohl zu g<sub>1</sub> als zu g<sub>2</sub> parallel. Daraus folgt aber, daß zwei Parallele, die zu einer dritten Geraden parallel sind, auch untereinander parallel sein müssen, weil dann auch zwischen diesen beiden Geraden alle zum Parallelismus erforderlichen Winkelgleichheiten bzw. Supplementaritäten bestehen.
:Nach diesen Vorbemerkungen zum Parallelenaxiom machen wir darauf aufmerksam, daß ohneweiters eine Geometrie denkbar ist, bei der alle anderen Axiome mit einziger Ausnahme des Parallelenaxioms gelten. Etwa die gar nicht mystische oder überdimensionale Geometrie auf der Kugelfläche, bei der sich zwei „Gerade“ oder g-Linien (wie H. Mohrmann sagt), also die kürzesten Verbindungslinien zweier Punkte, falls sie parallel sind, stets in zwei Gegenpunkten schneiden; (Meridiane auf dem Globus sind am Äquator parallel und schneiden einander in den Polenl!) Wir werden über dies' alles noch ausführlich sprechen, da es ja mit ein Hauptzweck dieses Buches ist, volles Verständnis auch für die sogenannten „nichteuklidischen" Geometrien zu erwecken. Wenn also Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt, als „nichteuklidisch“ zu bezeichnen sind, dann darf man wohl, wie es auch allgemein üblich ist, die Geometrie, in der das Parallelenpostulat verwendet wird, als die „euklidische“ Geometrie bezeichnen. Diese Ankündigung wird den Anfänger wohl ein wenig verwirren oder erschrecken. Er war es ja bisher gewohnt, gerade „die Geometrie“ für die sicherste und unanfechtbarste Wissenschaft zu halten. Und nun soll es gar mehrere, anscheinend gleichrichtige Geometrien geben?! Gewiß, antworten wir ruhig. Es gibt nicht nur mehrere, sondern unendlich viele verschiedene Geometrien, die in sich richtig, logisch und geschlossen sind. Welche, von diesen Geometrien man wählt, ist nach Poincaré pure Konvention oder Verabredung. Allerdings hat nach unserer Ansicht diese „Verabredung“ doch gewisse Grenzen, die irgendwie mit der Natur des Geistes und des Weltalls zusammenhängen. Aber wir dürfen uns nicht allzutief in die schwierigsten Probleme der Philosophie der Mathematik verirren. Wir stellen nur noch einmal fest, daß der Satz von den Parallelen unbewiesen und unbeweisbar ist und daß unsere ganze gewöhnliche Schulgeometrie, die ihn akzeptiert, eine der unendlich vielen möglichen Geometrien, nämlich die sogenannte euklidische Geometrie ist; die wahrscheinlich für unseren Geist und für unsere Welt auch die bequemste ist. Poetisch könnte man sie als die „Sonnengeometrie“ bezeichnen, da zur Vorstellung des Parallelismus in unserer Welt sicherlich im Gegensatze zur Geometrie des Auges, die den Parallelismus eigentlich nicht kennt, unsere „Erfahrung“ der parallelen (besser, scheinbar parallelen) Sonnenstrahlen historisch und psychologisch viel beigetragen hat. Wir bewegen uns auch überall dort, wo nicht ausdrücklich das Gegenteil angegeben ist, stets in der „Sonnengeometrie“, also innerhalb einer das Parallelenpostulat benützenden und fordernden Geometrie. Und unsere Bemerkung über die projektive Geometrie möge auch nicht mißverstanden werden. Denn wir werden sie vorläufig ebenfalls unter rein euklidischen Gesichtspunkten behandeln und sie als gleichsam in den euklidischen Raum eingebaut betrachten.
:Nun sind wir aber noch die Formulierung des Parallelenaxioms schuldig, die Hilbert für sein Axiomensystem gewählt hat. Er formuliert:
:IV. „(Euklidisches Axiom.) Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb von a: Dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene höchstens eine Gerade, die durch A läuft und a nicht schneidet. Wir nennen dieselbe die Parallele zu a durch A.“
:Dieses Parallelenaxiom ist gleichbedeutend oder äquivalent mit der Forderung:
:„Wenn zwei Gerade a und b in einer Ebene eine dritte Gerade c derselben Ebene nicht treffen, so treffen sie auch einander nicht.“
:Über die von uns schon einmal angeschnittene Frage, ob das Parallelenaxiom unmittelbar mit der Tatsache der l80grädigen Winkelsumme im Dreiecke äquivalent sei, ist viel diskutiert worden. Hilbert entscheidet die Frage in der Art, daß er bei Geltung des sogenannten archimedischen Axioms (von dem wir gleich sprechen werden) das Parallelenaxiom als durch den Satz von der l80grädigen Winkelsumme im Dreiecke ohneweiters ersetzbar behauptet.
:Wir wollen also zur Verbreiterung unserer Kenntnisse uns ein wenig mit den Winkeln im Dreiecke befassen, wobei wir noch immer nur die Kongruenzbeziehungen von Winkeln, das Größer- und das Kleinersein und die