Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 208c»

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:Wir wollen uns jetzt mit den Grundgebilden zweiter
Stufe befassen, die zum synthetischen Aufbau der projektiven Geometrie verwendet werden. Es sind dies:
:a) Das sogenannte „ebene Feld“. Dieses ebene Feld ist nun nichts anderes als der Inbegriff aller Punkte und Geraden einer Ebene. Symbolisch wird das ebene Feld gewöhnlich mit dem kleinen griechischen Buchstaben η (Eta) oder mit einem anderen kleinen, griechischen Buchstaben bezeichnet.
:----------------
 
:Zur Erleichterung sei hier das griechische Alphabet angefügt:
 
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"
oder mit einem anderen kleinen, griechischen
|-
Buchstaben bezeichnet.
| A, α Alpha a || Ι, ι Jota i || Ρ, ρ Rho rh
 
|-
 
| B, β Beta b || Κ, κ Kappa k || Σ, σ Sigma s
1) Zur Erleichterung sei hier das griechische Alphabet.
|-
angefügt:
| Γ, γ Gamma g || Λ, λ Lambda l || Τ, τ Tau t
A a Alpha a i I r Jota i Rho rh ,_
|-
B ß Beta b K u Kappa k l _. Sigma s
| Δ, δ Delta d || Μ, μ My m || Υ, υ Ypsilon y
y Gamma g L A Ä Lambdal Tau t
|-
„ô l¬›elt_a rl å M μ My A ııı . Ypsilon y
lspsıloıı| (9.Ε, fε NEpsilon e || Ν, ν «v Ny n ¦ || Φ, φ Phi ph
|-
` /.eta z §3 5'* Xi x X 1 Chi ch
| Ζ, ζ Zeta z || Ξ, ξ Xi x || Χ, χ Chi ch
EM 3? 0 o Omikronö *P ».› Psi pg
|-
::N@Ĭ
| Η, η Eta ē || Ο, ο Omikron o || Ψ, ψ Psi ps
C;_a'f P:
|-
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| Θ, θ Theta th || Π, π Pi p || Ω, ω Omega ō
'Q :_-' °'l QIÖ
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:Dazu wird bemerkt, daß wir später nicht bloß Ebenen, sondern auch Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen werden.
- lheta th I7 rr Pi 5.2 ca 01110-fra _
:----------------
P C-, 0
:b) Das zentrische Bündel, das der Inbegriff aller Geraden und Ebenen des Raumes ist, die durch einen Punkt gehen. Man hat sich also unter einem zentrischen Bündel etwa alle Strahlen vorzustellen, die von der Sonne nach allen Seiten (diesmal nicht bloß in einer Schnittebene) ausgestrahlt werden. Banal gesprochen, ist das zentrische Bündel ein zusammengerollter Igel, dessen Stacheln die Strahlen sind. Es kann aber natürlich auch unter kleinerem „Öffnungswinkel“ seine Strahlen aussenden. So ist etwa ein Punkt in der Ebene, der bloß nach oben strahlt, dessen Strahlen also gleichsam eine Halbkugel dicht oder weniger dicht erfüllen, ebenfalls ein zentrisches Bündel. Weiters, wenn wir den „Öffnungswinkel“ noch mehr verengen, überhaupt jeder Strahlenkegel, etwa der Strahlenkegel, der ins Auge oder in den photographischen Apparat tritt, oder der Strahlenkegel, den ein Scheinwerfer oder eine Taschenlampe aussendet. Damit ist aber der Begriff des zentrischen Bündels noch nicht erschöpft. Das zentrische Bündel, dessen konventionelle Bezeichnung ''Z'' ist, liegt auch dann vor, wenn Ebenen durch einen Punkt gehen. Jede nach unten offene und beliebig verlängerbare Pyramide beliebiger Flächenanzahl ist also auch ein zentrisches Bündel. Ebenso eine Vielzahl von Ebenen, die durch einen Punkt gehen, wie etwa das, was man in der analytischen Geometrie als „räumliches Koordinatensystem“ bezeichnet und das man sich etwa vorstellen kann als acht zu je vier in zwei Stockwerken übereinanderliegende, allerdings auf mehreren Seiten offene Zimmer. Oder als Schnitt dreier Ebenen in einem Punkt und dergleichen.
llnmı wiıfıl }_›ifm<:1~kt., daß wir spíileı' nicht bloß Ebenen,
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 081 picture cutout.jpg|thumb|400 px]]
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:b) Das zentrische Bündel, das der Inbegriff aller Geraden und Ebenen des Raumes ist, die durch einen Punkt gehen. Man hat sich also unter einem zentrischen Bündel etwa alle Strahlen vorzustellen, die von der Sonne nach allen Seiten (diesmal nicht bloß in einer Schnittebene) ausgestrahlt werden. Banal gesprochen, ist das zentrische Bündel ein zusammengerollter Igel, dessen Stacheln die Strahlen sind. Es kann aber natürlich auch unter kleinerem „Öffnungswinkel“ seine Strahlen aussenden. So ist etwa ein Punkt in der Ebene, der bloß nach oben strahlt, dessen Strahlen also gleichsam eine Halbkugel dicht oder weniger dicht erfüllen, ebenfalls ein zentrisches Bündel. Weiters, wenn wir den „Öffnungswinkel“ noch mehr verengen, überhaupt jeder Strahlenkegel, etwa der Strahlenkegel, der ins Auge oder in den photographischen Apparat tritt, oder der Strahlenkegel, den ein Scheinwerfer oder eine Taschenlampe aussendet. Damit ist aber der Begriff des zentrischen Bündels noch nicht erschöpft. Das zentrische Bündel, dessen konventionelle Bezeichnung ''Z'' ist, liegt auch dann vor, wenn Ebenen durch einen Punkt gehen. Jede nach unten offene und beliebig verlängerbare Pyramide beliebiger Flächenanzahl ist also auch ein zentrisches Bündel. Ebenso eine Vielzahl
 
 
 
 
 
 
 
 
:Schließlich hätten wir, bevor wir uns unsere ganzen Grundgebilde noch einmal schematisch zusammenstellen, noch das Grundgebilde dritter Stufe zu erwähnen, das man als das „räumliche System“ bezeichnet. Darunter versteht man den Inbegriff aller Punkte, Geraden und Ebenen des Raumes, also die Gesamtheit sämtlicher im ''R'', möglicher und vorkommender Grundgebilde.
:Wir haben nunmehr alle Bausteine beisammen, um die ganze Geometrie nach der projektiven Methode in synthetischer Art aufbauen zu können. Bevor wir aber weitergehen, stellen wir uns jetzt die projektiven Grundgebilde ohne weitere Erläuterung noch einmal zusammen:
:A. Grundgebilde erster Stufe oder Elemente:
::a) Punkt oder Strahlenbüschel.
::b) Gerade oder Punktreihe.
::c) Ebene.
:B. Grundgebilde zweiter Stufe:
::a) Das ebene Feld.
::b) Das zentrische Bündel.
:C. Grundgebilde dritter Stufe:
::a) Das räumliche System.
:Anfängern macht die Unterscheidung des Bündels und des Büschels oft Schwierigkeiten, das heißt, diese Bezeichnungen geben zu Verwechslungen Anlaß. Es ist dies bis' zu einem gewissen Grad verständlich. Denn im gewöhnlichen Sprachgebrauch sind Bündel und Büschel beides räumliche Gebilde. Daher wollen wir uns eine Gedächtniskrücke zimmern. Das Bündel, so merken wir uns in Anlehnung an ein Bündel Stroh oder einen Bund Spargel, ist das räumliche Gebilde. Zusammenbinden kann man nur körperliche Dinge. Das andere, das Büschel, ist dagegen ein ebenes Gebilde. Wir prägen uns, da andere Gedächtnishilfen nicht zu finden sind, ein, daß wir etwa ein Haarbüschel glatt auf eine Ebene, ein Blatt Papier ausbreiten. Nach kurzem Gebrauch werden wir ja ohnedies solcher primitiver Gedächtnishilfen entraten können, und es wird uns nicht einfallen, das Büsche] als ein räumliches Gebilde zu betrachten.
:Nachdem wir nun die Grundgebilde der projektiven Geometrie oder der Geometrie der Lage besprochen haben, wollen wir uns einige Grundbegriffe einprägen, die für den weiteren Aufbau notwendig sind. Zuerst folgt aus dem Namen, daß diese Art von Geometrie etwas mit Projektion zu tun hat. Das lateinische Wort
projicere entspricht etwa unserem Wort „entwerfen“, „hinwerfen“. Wir dürften es aber auch, um seine Bedeutung vollkommen richtig wiederzugeben, mit Abbildung übersetzen. Jeder weiß, was eine Laterna magica oder was ein Kinovorführungsapparat ist. Diese beiden Apparate nennt man auch „Projektions“apparate. Sie entwerfen ein Bild auf die Wand oder werfen dieses Bild auf die weiße Fläche. Projektion ist also „werfendes Abbilden“ und das Abbild, die Projektion, kann man auch als den „Schnitt“ des Projektionskegels bezeichnen. Man kann auch jeden Punkt oder jedes Stückchen der Projektion als den Schnitt des betreffenden Lichtstrahles oder des Strahlenbündels benennen. Dabei möchten wir ganz allgemein darauf aufmerksam machen, daß unsere Sprache sehr oft. dadurch ungenau ist, daß sie den erzeugenden Vorgang und das erzeugte Ergebnis mit dem gleichen Wort bezeichnet. So versteht man etwa unter Wurf sowohl die Tätigkeit des Werfens als das Ergebnis des Werfens. Man sagt, es sei ein großer Wurf, also das Ergebnis des Werfens, gelungen. Man spricht auch vom Wurf, wenn es sich um die schon vorhandene Nachkommenschaft eines Säugetieres, etwa eines Schweines oder Hundes handelt, obwohl man präziser „das Geworfene“ sagen müßte. Ebenso ist es hier. Auch ,hier wird gleichsam die statische und die dynamische Bedeutung des Wortes Projektion nicht streng voneinander getrennt, und man nennt Projektion sowohl die Tätigkeit des Abbildens als das fertige Abbild. Daher ist das Wort Abbild eigentlich bedeutend eindeutiger. Denn darunter kann man niemals die Tätigkeit, sondern stets nur das vollendete Ergebnis verstehen. Ebenso ist es bei einem zweiten wichtigen Grundbegriff der projektiven Geometrie, beim sogenannten Schnitt. Wir bringen zwei Gerade oder zwei Ebenen zum Schnitt, zur Durchdringung, zur Durchschneidung. Schnitt ist aber auch wieder die schon erfolgte Durchdringung. Etwa, wenn wir sagen, daß der Schnitt zweier Geraden stets einen Punkt als Ergebnis liefere. Nun hätten wir nur noch einen Grundbegriff, nämlich die Inzidenz zu erörtern. Wir werden dann alle Grundbegriffe durch entsprechende Beispiele illustrieren. Also Inzidenz heißt (vom lat. incidere) eigentlich der Zusammenfall, das Zusammenfallen, Zusammentreffen. Und man spricht von Inzidenz in folgenden, aus der reinen Anschauung ohneweiters vorstellbaren Fällen. Inzidenz liegt z. B. vor, oder inzident sind zwei Gebilde, wenn
:a) bei einem Punkt und einer Geraden der Punkt auf der Geraden liegt.
:b) Bei Punkt und Ebene, wenn der Punkt in der Ebene liegt.
:c) Bei einer Geraden und einer anderen Geraden, wenn sie einander schneiden.
:d) Bei einer Geraden und einer Ebene, wenn die Gerade in der Ebene liegt.
:Damit hätten wir die wichtigsten Fälle der Inzidenz erschöpft. Wenn zwei Gerade nicht inzident sind, dann sind sie gekreuzt oder windschief, was man auch umgekehrt ausdrücken kann. Nämlich: Windschiefe oder
einander kreuzende Gerade sind nicht inzident.
:Somit wären die zum Aufbau der Geometrie der Lage notwendigen Grundgebilde und Grundbegriffe erörtert. Wenn wir näher zusehen, werden wir zu unserer Überraschung finden, daß an elementaren Begriffen überhaupt nur folgende verwendet werden müssen: Punkt, Gerade, Ebene, Inzidenz, Getrenntsein. Alle übrigen Begriffe lassen sich aus diesen Begriffen herleiten. So etwa sämtliche sogenannten graphischen und deskriptiven Eigenschaften der Figuren, die nichts anderes sind als Beziehungen zwischen den Elementen der Figuren. Zur Angabe dieser Beziehungen wird aber, wie wir sehen werden, niemals etwas anderes notwendig sein als die oben erwähnten Begriffe. Daraus folgt auch für die zeichnerische Darstellung eine geradezu ungeheuer wichtige Konsequenz. Da wir projektiv alle Arten von Figuren aus obigen Elementen gewinnen können, ist zum Zeichnen~-nichts anderes notwendig als die Zeichenebene und höchstens noch ein Lineal zum Ziehen der Geraden. Alles Weitere muß nach unserer Ankündigung überflüssig sein. Man hat deshalb auch die Geometrie der Lage, bzw. ihre zeichnerischen Folgewirkungen schon mehrfach als die Konstruktionsmethode oder Zeichenkunst „ohne Zirkel“ oder als die Zeichenkunst „nur mit dem Lineal“ benannt.
 
 
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<math>\alpha</math>
<math>\alpha<sub>1</sub></math>
<sub></sub>
<sub>1</sub>
<sub>2</sub>
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<math> </math>
 
\alpha
 
ı
 
α
β
 
[[File:Vom Punkt zur Vierten Dimension Seite 049 picture cutout.jpg|thumb|500 px]]