Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 208c»
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:Gut, wir könnten so etwas behaupten, denn es ist von vornherein nicht einzusehen, warum sich die Parallelen nach der einen Seite anders verhalten sollen als nach der anderen, wenn sie im endlichen Bereich wirklich und hundertprozentig parallel sind. Jede andere Annahme verletzt gleichsam unser Gefühl für Regelmäßigkeit und Symmetrie. Wir müssen uns aber jetzt erinnern, wovon wir ausgegangen sind. Wir wollten doch behaupten, daß wir Parallele ansehen könnten, als ob sie Strahlen eines unendlich fernen Strahlungszentrums wären. Wir würden also diesen Gedanken, von dem wir begannen, sofort aufgeben müssen. Denn daß zwei Parallele Strahlen zweier unendlich ferner Strahlungsmittelpunkte seien. ist ein sehr verwickelter und mit allerlei Voraussetzungen belasteter Gedanke der uns den Begriff unserer Grundgebilde vollständig verwischt, wenn nicht gar über den Haufen wirft. Aber noch eine zweite Schwierigkeit taucht auf. Wir können nicht gut die wichtigste Eigenschaft einer Geraden, daß sie nämlich durch zwei Punkte eindeutig bestimmt sei, schlankweg aufgeben. Wenn wir aber zwei unendlichferne Punkte behaupten würden, dann wäre jede der beiden Parallelen eindeutig nur durch die beiden unendlichfernen Punkte U<sub>1</sub> und U<sub>2</sub> und durch einen dritten Punkt im Endlichen, den wir A oder B nennen wollen, bestimmt: *Also eine derart ins Gewicht fallende Schwierigkeit, daß wir unsere ganze Geometrie zuliebe dieser Zweiheit unendlichferner Punkte umstellen müßten.
:Wir halten deshalb an der Vorstellung fest, daß parallele Gerade nichts anderes seien als Strahlen aus einem unendlichfernen Strahlungsmittelpunkt. Diese Annahme ist zudem sehr naturgemäß, da wir ja eine der Annahme im höchsten Maße angenäherte Wirklichkeit bei den Sonnenstrahlen gesehen haben. Und es würde sicherlich niemandem einfallen, zu behaupten, daß die parallel eintretenden Sonnenstrahlen von zwei Sonnen, herrührten.
:Wir können vorläufig die ganze Tragweite unserer neuen Festsetzung des unendlichfernen Punktes noch nicht überblicken. Wir stellen nur fest, daß wir durch sie zwei Dinge gewonnen haben. Erstens sind wir in unserer projektiven Geometrie die uns schon mehrmals äußerst lästigen Parallelen überhaupt gleichsam losgeworden. Es gibt für uns nur mehr zwei Arten von Geraden: Solche, die sich schneiden, und solche, die sich nicht schneiden. Zu den sich nichtschneidenden Geraden zählen aber die Parallelen durchaus nicht mehr. Denn sie schneiden sich ja im unendlichfernen Punkt. Nichtschneidende Gerade sind die einander kreuzenden oder windschiefen Geraden, wie wir vorgreifend bemerken. Natürlich ist dieses „Kreuzen“ in der Ebene unmöglich. Dazu müssen wir den R<sub>3</sub> heranziehen, wie man im Bilde deutlich sieht.
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:Also noch einmal: In der Ebene schneiden einander alle Geraden, wenn man sie nur beliebig weit verlängert. Auch die Parallelen. Und daher ist jede Gerade gleichsam Angehörige eines möglichen Strahlenbüschels und darf als solche behandelt werden. Aber auch der Satz, daß eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, bleibt unbedingt erhalten. Denn in dieser Betrachtungsweise ist jede Gerade durch irgendeinen ihrer Punkte und durch ihre Richtung bestimmt. Richtung heißt aber, in die Sprache der projektiven Geometrie zurückübersetzt, nichts anderes als gedachte oder verwirklichte Verbindung mit einem endlich oder unendlich fernen Strahlungsmittelpunkt.
:Wir wollen uns jetzt mit den Grundgebilden zweiter
Stufe befassen, die zum synthetischen Aufbau der projektiven Geometrie verwendet werden. Es sind dies:
:a) Das sogenannte „ebene Feld“. Dieses ebene Feld ist nun nichts anderes als der Inbegriff aller Punkte und Geraden einer Ebene. Symbolisch wird das ebene Feld gewöhnlich mit dem kleinen griechischen Buchstaben η (Eta)
oder mit einem anderen kleinen, griechischen
Buchstaben bezeichnet.
1) Zur Erleichterung sei hier das griechische Alphabet.
angefügt:
A a Alpha a i I r Jota i Rho rh ,_
B ß Beta b K u Kappa k l _. Sigma s
y Gamma g L A Ä Lambdal Tau t
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:b) Das zentrische Bündel, das der Inbegriff aller Geraden und Ebenen des Raumes ist, die durch einen Punkt gehen. Man hat sich also unter einem zentrischen Bündel etwa alle Strahlen vorzustellen, die von der Sonne nach allen Seiten (diesmal nicht bloß in einer Schnittebene) ausgestrahlt werden. Banal gesprochen, ist das zentrische Bündel ein zusammengerollter Igel, dessen Stacheln die Strahlen sind. Es kann aber natürlich auch unter kleinerem „Öffnungswinkel“ seine Strahlen aussenden. So ist etwa ein Punkt in der Ebene, der bloß nach oben strahlt, dessen Strahlen also gleichsam eine Halbkugel dicht oder weniger dicht erfüllen, ebenfalls ein zentrisches Bündel. Weiters, wenn wir den „Öffnungswinkel“ noch mehr verengen, überhaupt jeder Strahlenkegel, etwa der Strahlenkegel, der ins Auge oder in den photographischen Apparat tritt, oder der Strahlenkegel, den ein Scheinwerfer oder eine Taschenlampe aussendet. Damit ist aber der Begriff des zentrischen Bündels noch nicht erschöpft. Das zentrische Bündel, dessen konventionelle Bezeichnung ''Z'' ist, liegt auch dann vor, wenn Ebenen durch einen Punkt gehen. Jede nach unten offene und beliebig verlängerbare Pyramide beliebiger Flächenanzahl ist also auch ein zentrisches Bündel. Ebenso eine Vielzahl
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