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Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 082c»

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:Aber nicht nur die Ägypter, auch die Priesterschaft der alten Inder besaß einen ähnlichen Kunstgriff, für Altäre und dergleichen rechte Winkel abzustecken.
 
:{| class="wikitable" style="text-align:left" style="width: 100%"
[[File:Mathematik von A bis Z Fig 16.svg|thumb|600 px|Fig. 16]]
| [[File:Mathematik von A bis Z Fig 16.svg|thumb|500 px|Fig. 16]] || [[File:File:Vom Einmaleins zum Integral - Seite 216 picture cutout.jpg|thumb|500 px|Fig. 16b]]
|}
<br style="clear:both;" />
 
:Nur henütztebenutzte man in Indien merkwürdigerweise ein Dreieck mit dem Seitenverhältnis <math> 15:36:39 </math>. Um uns leichter verständigen zu können, wollen wir gleich hier sagen, daß man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks die „Hypotenuse“ und die beiden kürzeren Seiten die „Katheten“ nennt. Das ägyptische Dreieck besitzt also die Hypotenuse 5 und die Katheten 4 und 3, während das indische eine Hypotenuse von 39 und zwei Katheten von 36 und 15 hat.
:Nun ist das rechtwinklige Dreieck an sich bestimmt nur ein Spezialfall unter allen möglichen Dreiecken. Denn es setzt voraus, daß die Katheten einen Winkel von genau 90° (neunzig Graden) einschließen, wodurch für die beiden anderen Winkel zusammen ebenfalls 90° übrigbleiben. Denn die Winkelsumme im Dreieck ist bekanntlich 180° oder 2&nbsp;Rechte&nbsp;=&nbsp;2R (zwei rechte Winkel). Da es nun weiter bekannt ist, daß dem kleineren Winkel die kleinere Seite (und umgekehrt) gegenüberliegt, muß dem rechten Winkel die größte Seite, also die Hypotenuse gegenüberliegen. Nun können wir aber mit Recht vermuten, daß sich diese Beziehung nicht bloß auf ein „Größersein“ oder „Kleinersein“, sondern auf ein ziffernmäßig faßbares „Größer- und Kleinersein“ erstreckt. Das heißt, es ist anzunehmen, daß die drei Seiten irgendwie im Verhältnis der Winkelgrößen und die Winkelgrößen irgendwie im Verhältnis der Seiten ihren Ausdruck finden. Kurz, wir müssen den Verdacht aussprechen, daß bei einem rechtwinkligen Dreieck irgendeine Beziehung besteht, die auch bei den Seiten die Tatsache ausdrückt, daß der rechte Winkel die Summe der beiden anderen Winkel bildet. Wollen wir aber unsere Vermutung prüfen, so sind wir sehr enttäuscht. Denn <math> 4+3=7 </math> und nicht 5 und <math> 15+36=51 </math> und etwas ganz anderes als 39. Unsere Annahme hat also sowohl beim ägyptischen als auch beim indischen Dreieck vollkommen versagt.
:Sind das also am Ende keine rechtwinkligen Dreiecke? Jedenfalls sprechen die Pyramiden und die indischen Bauwerke nicht für solch eine vernichtende Frage.
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:<math> 15^2+36^2=225+1296 = 1521 </math>, also
:<math> 15^2 + 36^2 =39^2 </math>.
:Und diese Beziehung ist eine der wichtigsten und unentbehrlichsten Regeln der Geometrie. Sie heißt der „pythagoräische Lehrsatz“ oder in der mittelalterlichen Schülersprache der „pons asinorum“, die Eselsbrücke. Pythagoras selbst, der die Voraussetzungen zu seinem Lehrsatz wahrscheinlich auf seinen Reisen in Ägypten und Indien kennengelernt hatte, soll als Dank für seine Entdeckung den Göttern eine Hekatombe Ochsen geopfert haben1haben).
::(<small>Wovon das Gelehrtensprichwort stammt, daß alle Ochsen zittern, wenn etwas Umwälzendes entdeckt wird.</small>)
:Wenn wir allgemein die Katheten mit ''a'' und ''b'' und die Hypotenuse mit ''c'' bezeichnen, dann lautet der Satz für jedes rechtwinklige Dreieck
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:<math> a^2 + b^2 = c^2 </math>, was zu beweisen war.
:Nun haben wir unseren pythagoräischen Lehrsatz als allgemeines Gesetz aufgestellt und damit behauptet, es gebe soviel in dieser Weise behandelbare Dreiecke als man nur will. Oder mit anderen Worten: Der pythagoräische Lehrsatz sei eine allgemeine Eigenschaft jedes rechtwinkligen Dreiecks.
:Wir wollen zuerst unsere neue Formel, da wir sie allgemein bewiesen haben und da schon der Augenschein zeigt, daß es unendlich viele rechtwinklige Dreiecke geben kann, einfach als Gleichung betrachten, bei der man nach dem Algorithmus der GleichungsichreGleichungslehre vorgehen darf. Das heißt, wir können, wenn nur eine Seite des Dreiecks unbekannt ist, diese Seite aus den zwei anderen Seiten berechnen. Zur Hilfe stellen wir uns, noch allgemein, die vorläufigen Lösungen auf, die allerdings quadratisch sind.
:<math> c^2 = a^2 + b^2 </math>
:<math> a^2 = c^2 - b^2 </math>
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