Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 081c»

Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 76:
:<math> y=3x+5 </math>.
:Und eben diese „Gleichung“ heißt in dieser Beleuchtungsweise eine Funktion. Ihr allgemeinstes Gestaltbild wird seit Leibniz: <math> y=f(x) </math> geschrieben. Und wird gesprochen: ''y ist eine Funktion von x''. Was nichts anderes heißt, als daß ''y'' von irgendeiner mit ''x'' verbundenen Größe systematisch abhängt.
:An dieser Stelle muß ich eine ketzerische und revolutionäre Tat setzen, deren Legitimation ich aus meiner Dichtereigenschaft herleite. Ich behaupte nämlich, daß der allgemeine wissenschaftliche Sprachgebrauch, der die willkürlich gewählte Veränderliche als die „unabhängige“ und die zwangsläufig bestimmlebestimmte Veränderliche als die „abhängige“ bezeichnet, insofern sprachlich, psychologisch und pädagogisch mangelhaft ist, als der Gegensatz zwischen einer Position und der durch die Vorsilbe „un“ erzeugten Negation eindrucksmäßig immer blasser wirkt als der Gebrauch selbständiger positiver und negativer Ausdrücke. Zudem ist das „un“ als Vorsilbe in der deutschen Sprache nicht einmal stets eine klare Verneinung, sondern manchmal nur eine versteckte Steigerung ins Positive. Man denke an Bildungen wie Untier und Unsumme, wobei es schon aller Rabulistik bedarf, dieses „Übertier“ und diese „Übersumme“ als Verneinungen zu behaupten. Aber selbst wenn wir von einer solchen Ausnahme absehen, ist es sicherlich gegensätzlicher und plastischer, Lust und Schmerz als Lust und Unlust einander entgegenzustellen. Und diese antithetische Blässe steigert sich bei partizipialen als Hauptwörter gebrauchten Eigenschaftswörtern wie abhängige Veränderliche und unabhängige Veränderliche ins Maßlose. Was noch dadurch verschärft wird, daß jemand assoziativ darauf verfallen könnte, zu denken, die Wahl des Wertes für die Unbekannte sei in einem Falle nur von meinem Willen abhängig, im anderen dagegen von mir unabhängig. Diese Auslegung wäre aber genau das Gegenteil von dem, was mit den üblichen Bezeichnungen gesagt werden soll. Wir wollen jedoch nicht Verwirrung stiften, sondern nur rechtfertigen, warum wir aus rein pädagogischen und psychologischen Gründen in diesem Einführungsbuch vom allgemeinen Sprachgebrauch der Wissenschaft abgehen und von der „willkürlichen“ (unabhängigen) und der „zwangsläufigen“ (abhängigen) Veränderlichen sprechen werden. Noch einmal zusammengestellt: In der „Funktion“
:<math> y=3x+5 </math>, allgemein <math> y=f(x) </math>
:ist das ''x'' die „willkürliche“, „unabhängige“ Veränderliche, das ''y'' die „zwangsläufige“, „abhängige“ Veränderliche. ''x'' und ''y'' aber heißen „die Veränderlichen“. Nachdem wir nun einige Kenntnisse über den Sprachgebrauch der Funktionenlehre gewonnen haben, wollen wir uns wieder unser Instrument, unsere Funktionsberechnungsmaschine hernehmen und ein weiteres Experiment machen. Wir rücken das 3-kg-Laufgewicht vorsichtig ein Stück auf der x-Laufschiene und beobachten dabei, was der Zeiger auf der y-Skala dabei treibt: Wir sehen, daß er sich auch ununterbrochen bewegt hat. Schließlich ist er zwischen zwei Teilstrichen der Skala stehen geblieben. Aber auch unser Laufgewicht steht irgendwo an einer nicht genau auf der Laufschiene bezeichneten Stelle.
Línea 104:
:Unsere Aufgabe ist gelöst. Und wir wissen weiter nach dem Satz der Unabhängigkeit des Verhältnisses von der Größe des Verglichenen, daß ich jetzt <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math> so klein denken darf, als ich nur überhaupt will. Also klein bis an die äußerste Grenze der Null hinab. Ich hätte, arithmetisch gesprochen, das Laufgewicht nur soweit verschoben, daß ich bis zur nächsten Irrationalzahl gelangt wäre.
::(<small>Nach moderner Auffassung gilt es als korrekter, das <math> \Delta x </math> solange zu verkleinern, bis man zur letzten Irrationalzahl vor dem ''x'' gelangt. Es handelt sich also, wie Newton gesagt hat, um das letzte Verhältnis der „hinschwindenden“ Inkremente (Zuwächse), das besteht, bevor beide in die Null untertauchen.</small>)
:Wie potenziert unendlich wenig das ist, wissen wir aus dem Aufbau der ZahlenlinicZahlenlinie. Einen solchen allerkleinsten Zuwachs von ''x'' nennen wir aber jetzt nicht mehr <math> \Delta x </math>, sondern '''dx''' und das zugehörige <math> \Delta y </math> entsprechend '''dy''', so daß wir schreiben:
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1} </math>
:Nun lüften wir den Schleier: Ohne irgendeine Denkschwierigkeit haben wir soeben den gefürchteten „Differentialquotienten“ berechnet. Und sagen: Der „Differentialquotient“ der Funktion <math> y=3x+5 </math> hat den Wert 3. Oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> y' = 3 </math>. Das <math> y' </math> heißt eben <math> \textstyle \frac{dy}{dx} </math> oder „erster“ Differentialquotient einer Funktion <math> y=f(x) </math>, das heißt einer Funktion, in der das ''y'' zwangsläufig von einer Konstellation von x=Ausdrücken abhängt.
:Nun ersehen wir aus unserem ominösen „Differentialquotienten“, daß er an jeder Stelle gleich ist. Überall, wo ich das ''x'' um den allerkleinsten Betrag ''dx'' verändere, erhalte ich als Verhältnis des entsprechenden y-Zuwachses zu unserem ''dx'' die Zahl 3 oder <math> 3:1 </math>. Die „Konstante“ hat dabei gar keine Rolle gespielt. Denn hätte ich sie fortgenommen, dann hätte ich
 
???
 
:<math>\begin{align} y & = 3x \\
y + \Delta y & = 3 (x + \Delta x) \\