Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 081c»
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Línea 76:
:<math> y=3x+5 </math>.
:Und eben diese „Gleichung“ heißt in dieser Beleuchtungsweise eine Funktion. Ihr allgemeinstes Gestaltbild wird seit Leibniz: <math> y=f(x) </math> geschrieben. Und wird gesprochen: ''y ist eine Funktion von x''. Was nichts anderes heißt, als daß ''y'' von irgendeiner mit ''x'' verbundenen Größe systematisch abhängt.
:An dieser Stelle muß ich eine ketzerische und revolutionäre Tat setzen, deren Legitimation ich aus meiner Dichtereigenschaft herleite. Ich behaupte nämlich, daß der allgemeine wissenschaftliche Sprachgebrauch, der die willkürlich gewählte Veränderliche als die „unabhängige“ und die zwangsläufig
:<math> y=3x+5 </math>, allgemein <math> y=f(x) </math>
:ist das ''x'' die „willkürliche“, „unabhängige“ Veränderliche, das ''y'' die „zwangsläufige“, „abhängige“ Veränderliche. ''x'' und ''y'' aber heißen „die Veränderlichen“. Nachdem wir nun einige Kenntnisse über den Sprachgebrauch der Funktionenlehre gewonnen haben, wollen wir uns wieder unser Instrument, unsere Funktionsberechnungsmaschine hernehmen und ein weiteres Experiment machen. Wir rücken das 3-kg-Laufgewicht vorsichtig ein Stück auf der x-Laufschiene und beobachten dabei, was der Zeiger auf der y-Skala dabei treibt: Wir sehen, daß er sich auch ununterbrochen bewegt hat. Schließlich ist er zwischen zwei Teilstrichen der Skala stehen geblieben. Aber auch unser Laufgewicht steht irgendwo an einer nicht genau auf der Laufschiene bezeichneten Stelle.
Línea 104:
:Unsere Aufgabe ist gelöst. Und wir wissen weiter nach dem Satz der Unabhängigkeit des Verhältnisses von der Größe des Verglichenen, daß ich jetzt <math> \Delta y </math> und <math> \Delta x </math> so klein denken darf, als ich nur überhaupt will. Also klein bis an die äußerste Grenze der Null hinab. Ich hätte, arithmetisch gesprochen, das Laufgewicht nur soweit verschoben, daß ich bis zur nächsten Irrationalzahl gelangt wäre.
::(<small>Nach moderner Auffassung gilt es als korrekter, das <math> \Delta x </math> solange zu verkleinern, bis man zur letzten Irrationalzahl vor dem ''x'' gelangt. Es handelt sich also, wie Newton gesagt hat, um das letzte Verhältnis der „hinschwindenden“ Inkremente (Zuwächse), das besteht, bevor beide in die Null untertauchen.</small>)
:Wie potenziert unendlich wenig das ist, wissen wir aus dem Aufbau der
:<math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1} </math>
:Nun lüften wir den Schleier: Ohne irgendeine Denkschwierigkeit haben wir soeben den gefürchteten „Differentialquotienten“ berechnet. Und sagen: Der „Differentialquotient“ der Funktion <math> y=3x+5 </math> hat den Wert 3. Oder <math> \textstyle \frac{dy}{dx} = 3 </math> oder <math> y' = 3 </math>. Das <math> y' </math> heißt eben <math> \textstyle \frac{dy}{dx} </math> oder „erster“ Differentialquotient einer Funktion <math> y=f(x) </math>, das heißt einer Funktion, in der das ''y'' zwangsläufig von einer Konstellation von x=Ausdrücken abhängt.
:Nun ersehen wir aus unserem ominösen „Differentialquotienten“, daß er an jeder Stelle gleich ist. Überall, wo ich das ''x'' um den allerkleinsten Betrag ''dx'' verändere, erhalte ich als Verhältnis des entsprechenden y-Zuwachses zu unserem ''dx'' die Zahl 3 oder <math> 3:1 </math>. Die „Konstante“ hat dabei gar keine Rolle gespielt. Denn hätte ich sie fortgenommen, dann hätte ich
:<math>\begin{align} y & = 3x \\
y + \Delta y & = 3 (x + \Delta x) \\
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