Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales 2»

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Línea 292:
 
<math>\mathbf{(\sum_{i=1}^{s}A_{i} + B_{i})^{T}=\sum_{i=1}^{n}(B_{i})^{T} + \sum_{i=1}^{n}(A_{i})^{T}}</math>
 
 
 
== Teorema ==
 
 
Todo sistema de m-ecuaciones lineales con n-ingócnitas (<math>m\times n</math>)con coeficintes en un cuerpo <math>(\mathbb{K})</math> se puede escribir en forma matricial.
 
'''Demostración:'''
 
Básicamente lo que nesecitamos recordar es cómo se representa a tal sistema, por ejmplo se tiene:
 
<math>\begin{matrix}
 
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\
 
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\
 
\vdots \\
 
a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + a_{i3}x_{3} + \cdots + a_{in}x_{n} = b_{i}\\
 
\vdots \\
 
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m}
 
\end{matrix}
</math>
 
Obbservemos cuidadosamente que los coeficientes <math>a_{ij} \forall i,j \in {1,2,...,n}</math>
correspnden a la entrada <math>(a_{ij})</math> de una cierta matriz de <math>m\times n</math>.Sea está:
 
<math>A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \forall A \in M_{m,n}(\mathbb{K})
</math>
 
Notemos que la primera ecuación es de la forma y posee la característica de la primera entrada de la multiplicación de A con una matriz <math>X</math> <math>1\times n</math> con entrada <math>(\mathrm{x_{j}})\forall j \in {1,2,...,n}</math> entonces:
 
<math>A\bullet X =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix} \bullet
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix}
</math>
 
Que esto evidentemente tiene que ser igual a una matriz <math>m\times 1 </math>,sea esta matriz B con entrada <math>(b_{ij})</math>, por tanto, se puede términar la representación matricial del sistema lineal de la siguiente forma:
 
<math>A\bullet X =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3} \\
\vdots \\
b_{m} \\
\end{pmatrix}=B</math>