Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales 2»
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Línea 63:
<math> \alpha * (a\oplus b)= \alpha*a \oplus \alpha*b</math> (ley distributiva)
<math>\forall a \in \mathbb{R}^n,\exists \alpha \in \mathbb{R}</math>:
<math> \alpha
2.El conjunto de todos los polinomios
Línea 207:
\end{pmatrix}, \ni [\alpha \cdot A] \in M_{m,n}(\mathbb{K})
</math>
Observación:
En las dos definiciones anteriores la cerradura se debe a que son elmentos de un cuerpo,el cual, posee esta propiedad.
Sin mucha dificultad se puede demostrar que el conjunto <math>M_{m,n}(\mathbb{K})</math> es un espacio vectorial sobre el cuerpo referido(<math>\mathbb{K}</math>).
Definición:
Sea A una matriz <math>m\times n</math> con entrada <math>(a_{ij})</math> y B una matriz de <math>n\times q</math> con entrada <math>(b_{jk})</math>se define <math>A \bullet B</math>
que es la multiplicación de A por B como sigue:
<math>A \bullet B =
\begin{pmatrix}
\sum_{j=i}^{n}a_{1j}b_{j1} & \sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j2} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{jq} \\
\sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j1} & \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{jq}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j1} & \sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{j2} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jq} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{j1} & \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{j2} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{mj}b_{jq}
\end{pmatrix}
</math>
generando una matriz <math>C = A \bullet B</math> <math>m\times q</math> con entrada <math>(c_{ik})=(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b{jk})</math>.
Observación:
Es importante que las filas conincidan con las columnas o viceversa en la multiplicación de matrices ya que si no fuese así no se puede definir ninguna multiplicación entre estas.
'''Propiedades inmediatas:'''
Sea A matriz <math>m\times n </math> con entrada <math>(a_{ij})</math>, B un matriz <math>n\times q</math> con entrada <math>(b_{jk})</math> y <math>\alpha_{l}\in\mathbb{K}</math>, entonces se cumple:
1.<math>(\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l})\cdot(A\bullet B)=(\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}\cdot A)\bullet B=A\bullet (\sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}\cdot B)=(A\bullet B) \cdot \sum_{l=1}^{r}\alpha_{l}</math>.
2.<math>\prod_{l=1}^{s}\alpha_{l}\cdot(A\bullet B)=(\prod_{l=1}^{s}\alpha_{l}\cdot A)\bullet B=A\bullet (B\cdot \prod_{l=1}^{s}\alpha{l})=(A\bullet B)\cdot \prod_{l=1}^{s}</math>
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