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Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales 2»

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== Definición ==
 
'''Un espacio vectorial ''<math>\mathbb{V''}</math> sobre un [[cuerpo]] ''k''<math>\mathbb{K}</math> es un conjunto no vacío sobre el que se definen 2 operaciones: suma entre elementos de Vinternas y el8 productopropiedades deinherentes,a elementos de k por elementos de V.'''saber:
 
<math>\oplus:\mathbb{V}\times\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}</math>
<math>(u,v)\rightarrow u\oplus v</math> (Cerradura bajo la operación <math>\oplus</math> de dos elemetos de <math>\mathbb{V}</math>)
<math>\otimes:\mathbb{K}\times\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{V}</math>
<math>(\alpha,u)\rightarrow \alpha\otimes u</math> (Cerradura ante <math>\otimes</math> de un elemento del cuerpo <math>\mathbb{K}</math> y un elemento de <math>\mathbb{V}</math>)
 
Respecto a la suma se pide que verifique una serie de propiedades:
 
* '''Propiedad asociativaConmutativa'''
<math> u \oplus v = v \oplus u</math><math>\forall u,v \in \mathbb{V}</math>
(a + b) + c = a + (b + c)
 
* '''Propiedad Asociativa'''
* Existencia de elemento neutro▼
<math>u\exists</math>oplus(v\oplus ew)=(u\oplus <math>v)\inoplus w</math> V tal que <math>\forall</math> au,v,w <math>\in \mathbb{V}</math> V.
* '''Existencia de elemeto neutro ante <math>\oplus</math>'''
e + a = a + e = a
* <math>\forall</math> a,u b\in <math>\inmathbb {V}</math> V, <math>\forallexists e \in \mathbb{V}</math> <math>\alphani </math> <math>u\inoplus e=u</math> K▼
 
* '''Existencia de elemento simétricoopuesto uante opuesto<math>\oplus</math>'''
<math>\forall u \in \mathbb{V}</math> a <math>\inexists u \prime </math> V, <math>\existsni</math> a' <math>u\inoplus u \prime =e</math> V.
a + a' = a' + a = e
 
* '''Propiedad conmutativaAsociativa'''
<math>(\forallalpha \bullet \beta)\otimes u = \alpha \otimes (\beta \otimes u)</math><math>\forall a\alpha,\beta b\in \mathbb{K}</math>,<math>\forall u \in \mathbb{V}</math> V
* '''Propiedad distributiva para la opearación (+) entre escalares'''
a + b = b + a
<math> (\alpha (+) \beta)\otimes u=\alpha \otimes u \oplus \beta\otimes u</math><math>\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}</math>,<math>\forall u \in \mathbb{V}</math>
 
* '''Propiedad distributiva para la operación <math>\oplus</math> entre elementos de <math>\mathbb{V}</math>'''
Esto significa que ''(V,+) es conmutativo''.
<math>\alpha \otimes (u\oplus v)=\alpha \otimes u \oplus \alpha \otimes v</math><math>\forall \alpha \in \mathbb{K}</math><math>\forall u,v \in \mathbb{V}</math>
 
▲* Existencia de elemento neutro ante la operación <math>\otimes</math>
<math>\forall u \in \mathbb{V} </math><math>\exists \epsilon \in \mathbb{K}</math><math>\ni</math>
<math>\epsilon \otimes u=u</math>
 
== Ejemplos ==▼
Respecto al producto por elementos de k se pide que verifique:
 
*# <math>\forallmathbb{R}^n</math> aes <math>\in</math>un V,espacio <math>\forall</math>vectorial <math>\alpha</math>sobre <math>\inmathbb{R}</math> K
<math>\alpha</math> * a = a * <math>\alpha</math>
 
En efecto:
* <math>\forall</math> a <math>\in</math> V, <math>\forall</math> <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> <math>\in</math> K
<math>\alpha</math>*a + <math>\beta</math>*a = (<math>\alpha</math> + <math>\beta</math>) * a
 
<math>\oplus:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n</math>
* <math>\forall</math> a <math>\in</math> V, <math>\forall</math> <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> <math>\in</math> K
<math>(a,b)\rightarrow a+b</math>
<math>\alpha</math>(<math>\beta</math>*a) = (<math>\alpha</math>*<math>\beta</math>)*a
<math>*:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n</math>
<math>(\alpha,a)\rightarrow \alpha*a</math>
 
''' Ante la suma'''
▲* <math>\forall</math> a, b <math>\in</math> V, <math>\forall</math> <math>\alpha</math> <math>\in</math> K
<math>\alpha</math>(a + b) = <math>\alpha</math>*a + <math>\alpha</math>*b
 
* <math>\forall</math> a,b <math>\in</math> V, <math>\forallmathbb{R}^n</math> 1 <math>\in</math> K:
<math>a\oplus b = b\oplus a</math> (ley conmutativa ante la operación interna suma)
1*a = a
<math>\forall a,b,c \in \mathbb{R}^n</math>:
<math>a\oplus(b\oplus c) = (a\oplus b)\oplus c</math> (ley asociativa ante la operación interna suma)
<math>\forall a \in \mathbb{R}^n\exists 0 \in \mathbb{R}^n</math>:
<math>a\oplus 0=a</math> (existencia de elemento neutro aditivo)
<math>\forall a \in \mathbb{R}^n\exists (-1)a \in \mathbb{R}^n</math>:
<math>a\oplus (-1)a=0</math> (existencia de elemnto opuesto)
Ante el produnto por escalares
 
<math>\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \forall a \in \mathbb{R}^n</math> se cumple:
Los elementos de V se llaman ''vectores'' y los elementos de K se llaman ''escalares''.
<math>(\alpha\cdot\beta)*a=\alpha*(\beta*a)</math> (ley asociativa ante el producto por escalares)
 
<math>\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\forall a \in \mathbb{R}^n</math> se tiene:
▲== Ejemplos ==
<math>(\alpha\cdot\beta)*a=\alpha*a + \beta*a</math> (ley distributiva)
 
# <math>\forall \alpha \in \mathbb{R}^n</math>,\forall esa,b un\in espacio vectorial sobre <math>\mathbb{R}^n</math> se satisface:
<math> \alpha * (a\oplus b)= \alpha*a \oplus \alpha*b</math> (ley distributiva)
<math>\forall a \in \mathbb{R}^n,\exists \alpha \in \mathbb{R}</math>:
<math> \alpha * a =a</math> (existencia de neutro multiplicativo).
 
# 2.El conjunto de todos los polinomios
 
# 3.El conjunto de todas las funciones, con la multiplicación por un escalar y la suma de funciones, la función nula como neutra de la adicióncontinuas
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