Diferencia entre revisiones de «Álgebra Universitaria/Calculo Vectorial/Producto Escalar»
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Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente [[variedad de Riemann|variedades de Riemann]], es decir, espacios no-planos con un [[tensor de curvatura]] diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de [[geodésica]] en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un [[tensor métrico]] <math>\scriptstyle g:\mathcal{M}\times T\mathcal{M} \times T\mathcal{M} \to \R</math>, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal <math>\scriptstyle g_x(\cdot,\cdot) = g(x;\cdot,\cdot)</math>.
Así, dados dos vectores campos vectoriales <math>\
{{ecuación|<math>
\langle \
\sum_i\sum_j g_{ij}(x)u_i v_j
</math>||left}}
La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su [[espacio tangente|vector tangente]] <math>\scriptstyle \
{{ecuación|
<math>L_C = \int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g(\
\int_{s_a}^{s_b} \sqrt{g_{ij}\frac{dx^i}{ds} \frac{dx^i}{ds}}\ ds
</math>
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