Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices»
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Sea <math>\mathbb{K}</math> un [[w:Cuerpo (matemática)|cuerpo]]. Una ecuación lineal con coeficientes en <math>\mathbb{K}</math> es una expresión de la forma:
x, y, z, t...Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado, todas las ecuaciones del sistema deben ser de primer grado.
Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden. La clasificación de los
==Método de Gauss==
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a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\
a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\
\
a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m
\end{matrix}
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y lo que resulta de sumar <math display="inline">k</math>veces la <math>j</math>-ésima ecuación a la <math>i</math>-ésima:
<math>
\begin{matrix}
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2
a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m▼
▲ \end{matrix}
</math>
Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos <math> {c_1, c_2, ..., c_n} \,</math>
▲Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos <math> {c_1,..., c_n} \,</math> como un conjunto de soluciones del primer sistema. Puesto que ambos sistemas sólo difierenen la i-ésima ecuación, basta ver que <math> x_k = c_k \,</math>, <math> \forall \,</math> <math> k \in {1,...,n} \,</math> verifica la i-ésima ecuación del segundo sistema. Por se solución del primero, tenemos que:
▲<math> a_{i1} c_1 + a_{i2} c_2 + \cdots + a_{in-1} c_{n-1} + a_{in} c_n = b_i \,</math>
▲<math> a_{j1} c_1 + a_{j2} c_2 + \cdots + a_{jn-1} c_{n-1} + a_{jn} c_n = b_j \,</math>
Y de aquí se obtiene:▼
<math> \sum_{h=1}^n (a_{ih} + k a_{jh})c_h = b_i + kb_j \,</math>
que implica que <math> {c_1, c_2, ..., c_n} \,</math> es solución del segundo sistema, como queríamos comprobar. El recíproco se comprueba fácilmente tomando como hipótesis la ecuación anterior y restando
▲que implica que <math> {c_1,..., c_n} \,</math> es solución del segundo sistema, como queríamos comprobar. El recíproco se comprueba fácilmente tomando como hipótesis la ecuación anterior y restando k veces la fila j-ésima del primer sistema, con la solución introducida. <math> \Box \,</math>
A continuación se explica el proceso conocido como [[w:método de Gauss|método de Gauss]], que tiene como objeto transformar un sistema de ecuaciones lineales dado en otro equivalente y más sencillo:
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==Matrices==
Dado un cuerpo <math>\mathbb{K}</math>, consideremos el siguiente sistema de <math> m</math> ecuaciones lineales con <math> n</math> incógnitas:
<math>
\begin{matrix}
a_{11}x_1
a_{21}x_1
a_{m1}x_1
\end{matrix}
</math>re de matriz de orden <math>m
a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} & | b_{1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\end{pmatrix}</math>por <math> M_{m \times n}</math>
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