Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices»
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x, y, z, t...Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.▼
▲Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.
todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden.
La clasificación de los sitemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, <math> {a_i} = 0 \,</math> , siendo por tanto compatible en cualquier caso.
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'''Proposición 1''': S Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:
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y lo que resulta de sumar k veces la j-ésima ecuación a la i-ésima:▼
<math> & \dots & \dots & \dots \\▼
\begin{matrix}
a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m
\end{matrix}
</math>
Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos <math> {c_1,..., c_n} \,</math> como un conjunto de soluciones del primer sistema. Puesto que ambos sistemas sólo difierenen la i-ésima ecuación, basta ver que <math> x_k = c_k \,</math>, <math> \forall \,</math> <math> k \in {1,...,n} \,</math> verifica la i-ésima ecuación del segundo sistema. Por se solución del primero, tenemos que:
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Y de aquí se obtiene:
<math> \sum_{h=1}^n (a_{ih} + k a_{jh})c_h = b_i + kb_j \,</math>
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Dado un cuerpo K, consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
<math>
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a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\
a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\
\
a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m
\end{matrix}
</math>re de matriz de orden m x n con coeficientes en K. Más en general, se denota al conjunto de todas las matrices de orden m x n con coeficien▼
▲</math>
▲re de matriz de orden m x n con coeficientes en K. Más en general, se denota al conjunto de todas las matrices de orden m x n con coeficien
<math> \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}& b_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn}& b_{1} \end{pmatrix} \,</math>
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