Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables»

m
reinicio del artículo
m (Proferichardperez trasladó la página Álgebra/Álgebra abstraxcta/ Estructuras Algebraicas a Aritmética/Historia/Introducción/Descubrimiento de los inconmensurables: se reubica en otro libro y se reescribe. se utiliza página huérfana por duplicada)
m (reinicio del artículo)
Etiqueta: editor de código 2017
=== Descubrimiento de los inconmensurables ===
 
Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:
== Definiciones Básicas ==
Una '''estructura algebraica''' es un lista o sucesión finita <math><E, *_1, *_2, ...></math> donde <math>E</math> es un conjunto (conjunto base de la estructura) y <math>*_1, *_2,...,> </math> son operaciones en <math>E</math>.
 
Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como <math>p/q</math> con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que <math> d^2=s^2+s^2</math> , <math>(d/s)^2=p^2/q^2=2</math>, entonces <math>p^2=2q^2</math> y por tanto <math>p^2</math> debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos <math>p=2r</math>, entonces <math>4r^2=2q^2</math> y <math>2r^2=q^2</math>, entonces <math>q^2</math> es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.
El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.
 
La teoría pitagórica de ''todo es número'' quedó seriamente dañada.
Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.
=== Estructuras con Operaciones Externas ===
 
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355&nbsp;a.&nbsp;C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de ''Los elementos''. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: ''Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra'' (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: ''Dos magnitudes están en la misma razón <math>a/b=c/d </math> si dados dos [[número natural|números naturales]] cualesquiera m y n, si <math> ma = nb </math> entonces <math>mc = nd</math> (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).
Una operación externa en un conjunto <math>E</math> es uan función de la forma
<math> A \times E \rightarrow E </math>; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de <math>E</math>.
 
En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las <math>m/n</math> tales que <math>ma = nb</math> y las que no.
* '''Módulo''' es un grupo abeliano <math><M,+></math> con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo <math>A</math>, <math> (a,x) \rightarrow ax</math> (multiplicación por escalr ) tal que para todo <math> a, b \in A</math> y <math> x,y \in M</math> se cumple que
<center><math>
\begin{array}{rcl}
(a+b)x &=& ax + bx \\
(ab)x &=& a(bx) \\
1 x & = & x \\
a(x+y) & = & ax + ay.
\end{array}
</math></center>
Los elementos de <math>A</math> son los escalares.
 
* Un '''Espacio Vectorial''' es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
* Una '''Álgebra''' es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.
 
<big>Ejemplos.</big>
 
# Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.
 
# Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.