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=== Descubrimiento de los inconmensurables ===
Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:
Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como <math>p/q</math> con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que <math> d^2=s^2+s^2</math> , <math>(d/s)^2=p^2/q^2=2</math>, entonces <math>p^2=2q^2</math> y por tanto <math>p^2</math> debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos <math>p=2r</math>, entonces <math>4r^2=2q^2</math> y <math>2r^2=q^2</math>, entonces <math>q^2</math> es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.
La teoría pitagórica de ''todo es número'' quedó seriamente dañada.
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de ''Los elementos''. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: ''Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra'' (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: ''Dos magnitudes están en la misma razón <math>a/b=c/d </math> si dados dos [[número natural|números naturales]] cualesquiera m y n, si <math> ma = nb </math> entonces <math>mc = nd</math> (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).
En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las <math>m/n</math> tales que <math>ma = nb</math> y las que no.
