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Construcción de los conjuntos numéricos
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=== Construcción de los conjuntos numéricos. (Capítulo en construcción) ===
'''Definición 35.1. Sucesión fundamental de conjuntos.''' La sucesión de conjuntos finitos: <math>\{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}, \ldots</math>, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos <ref>Aritmética Teórico Práctica. Aurelio Baldor. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. 1974</ref>. Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión.
 
'''Definición 35.2. Construcción de los números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente consigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la misma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, simbolizado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".
 
'''Axioma 35.1. Propiedades de los números naturales bajo la adición.''' El conjunto de los naturales mas el número cero: <math>\mathbb{N}_0 \equiv \mathbb{N} \cup \{0\} = \{ 0,1,2,3,4,5, \ldots , \}</math> dotado de la operación binaria de la adición se representa como el par ordenado <math>( \mathbb{N}_0 , + )</math> y poseé las siguientes propiedades:
# '''Asociatividad:''' <math>\forall m,n,p \in \mathbb{N}_0</math> se tiene que <math>(m+n)+p = m+(n+p)</math>.
# '''Conmutatividad:''' <math>\forall m,n \in \mathbb{N}_0</math> resulta que <math>m+n=n+m</math> (el orden de los sumandos no altera la suma).
# '''Existencia del elemento neutro o identidad''' (bajo la adición): <math>\forall m \in \mathbb{N}_0 \ \exists \ 0 \in \mathbb{N}_0 : m + 0 = 0 + m = m</math>.
 
'''Definición 35.3. Cardinalidad de conjuntos.''' La cardinalidad de un conjunto <math>A </math> es la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto, donde, si es un conjunto finito, se define formalmente como el número perteneciente a <math>\mathbb{N}_0</math> que asociamos con el elemento de la sucesión fundamental que es coordinable con dicho conjunto <math>A</math>; y se simboliza como #<math>A </math>. Así pues, si <math>A </math> es finito y posee <math>n </math> elementos (con <math>n \in \mathbb{N}_0 </math>), entonces #<math>A=n </math>, y si <math>A </math> posee infinitos elementos, lo que significa que no es coordinable con ningún elemento de la sucesión fundamental, entonces se dice que #<math>A </math> es infinita.
 
'''Ejemplo 35.1.'''
# El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo '''2.1''' es finito y consta <math>5 </math> animales: #<math>A = 5 </math>.
# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} := \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.
# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita.
'''Definición 35.4. Construcción de los números enteros.''' En el axioma 35.1 vimos que los números naturales cumplen con tres propiedades bajo la suma, sin embargo no cuenta con números inversos. AdemásAsí, si queremos efectuar la sustracción de dos números del conjunto <math>\mathbb{N}_0, </math> <math>m-n, </math>donde <math>n > m, </math>dicha resta no está definida en el conjunto <math>\mathbb{N}_0, </math>
 
== Referencias Bibliográficas. ==